równania i tożsamości trygonometryczne
-
- Użytkownik
- Posty: 135
- Rejestracja: 5 lut 2011, o 09:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: xaswq
- Podziękował: 60 razy
równania i tożsamości trygonometryczne
1. Funkcje \(\displaystyle{ f(x)= \frac{\sin x + \tg x}{\cos x}}\) i \(\displaystyle{ g(x)= \frac{\sin x}{\sin x + 1}}\) określone są w zbiorze \(\displaystyle{ D = {x \in R: x \neq \frac{ \pi }{2} + k \pi , gdzie k \in C}}\). Wykaż, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ a \in D}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ f(a) \cdot g(a) \ge 0}\)
2. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \tg ^{4}x - 2\tg ^{3}x - 2\tg ^2{x} + 6 \tg x - 3 = 0}\)
Tu użyłem niewiadomej pomocniczej\(\displaystyle{ t= \tg x}\), ale otrzymanego równania nie potrafię rozbić na czynniki.
3. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin x - \cos x + 1 = \sin x \cos x}\)
4. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ (1 - \tg x)(1 + \sin 2x) = 1 + \tg x}\)
najpierw \(\displaystyle{ D= R / { \frac{ \pi }{2} + k \pi}\) i zamieniłem wg wzoru \(\displaystyle{ \sin 2x}\) na \(\displaystyle{ 2 \sin x \cos x}\)otrzynmując w drugim nawiasie postać \(\displaystyle{ (\cos x + \sin x) ^{2}}\) ale nie wiem co dalej
5. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \cos 2x + \sin 2x + 1 = 0}\)
korzystając ze wzorów doszedłem do postaci \(\displaystyle{ 2 \sin x \cos x + \cos ^{2}x=0}\) teraz mogę wyłączyć \(\displaystyle{ \cos x}\) przed nawias ale wciąż w nawiasie zostaje \(\displaystyle{ 2 \sin x + \cos x}\)
2. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \tg ^{4}x - 2\tg ^{3}x - 2\tg ^2{x} + 6 \tg x - 3 = 0}\)
Tu użyłem niewiadomej pomocniczej\(\displaystyle{ t= \tg x}\), ale otrzymanego równania nie potrafię rozbić na czynniki.
3. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin x - \cos x + 1 = \sin x \cos x}\)
4. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ (1 - \tg x)(1 + \sin 2x) = 1 + \tg x}\)
najpierw \(\displaystyle{ D= R / { \frac{ \pi }{2} + k \pi}\) i zamieniłem wg wzoru \(\displaystyle{ \sin 2x}\) na \(\displaystyle{ 2 \sin x \cos x}\)otrzynmując w drugim nawiasie postać \(\displaystyle{ (\cos x + \sin x) ^{2}}\) ale nie wiem co dalej
5. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \cos 2x + \sin 2x + 1 = 0}\)
korzystając ze wzorów doszedłem do postaci \(\displaystyle{ 2 \sin x \cos x + \cos ^{2}x=0}\) teraz mogę wyłączyć \(\displaystyle{ \cos x}\) przed nawias ale wciąż w nawiasie zostaje \(\displaystyle{ 2 \sin x + \cos x}\)
Ostatnio zmieniony 8 paź 2011, o 10:30 przez fart411, łącznie zmieniany 4 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 4 mar 2009, o 09:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 29 razy
równania i tożsamości trygonometryczne
3)
Przenieś 1 na prawą stronę i podnieś obie strony do kwadratu. Skorzystaj między innymi z jedynki tryg, wszystko się ładnie upraszcza
Przenieś 1 na prawą stronę i podnieś obie strony do kwadratu. Skorzystaj między innymi z jedynki tryg, wszystko się ładnie upraszcza
-
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 4 mar 2009, o 09:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 29 razy
równania i tożsamości trygonometryczne
5.
Dobrze zrobiłeś. Wyciągnij ten \(\displaystyle{ \cos x}\) przed nawias i masz dwa równania które trzeba przyrównać do zera:
\(\displaystyle{ \cos x =0\\
2 \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow 2 \sin x =- \cos x \Leftrightarrow -2 \tg x =0}\)
Teraz się zastanawiam... W sumie nie mogę dzielić przez cosx, bo może wynosić zero... Ale mozna zroibć osobny przypadek dla \(\displaystyle{ \cos x=0}\), wtedy \(\displaystyle{ 2\sin x}\) też jest równe zero i tez rozwiązać to równanie.
Dobrze zrobiłeś. Wyciągnij ten \(\displaystyle{ \cos x}\) przed nawias i masz dwa równania które trzeba przyrównać do zera:
\(\displaystyle{ \cos x =0\\
2 \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow 2 \sin x =- \cos x \Leftrightarrow -2 \tg x =0}\)
Teraz się zastanawiam... W sumie nie mogę dzielić przez cosx, bo może wynosić zero... Ale mozna zroibć osobny przypadek dla \(\displaystyle{ \cos x=0}\), wtedy \(\displaystyle{ 2\sin x}\) też jest równe zero i tez rozwiązać to równanie.
Ostatnio zmieniony 8 paź 2011, o 11:16 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 Instrukcji LaTeX-a.
Powód: Punkt 2.7 Instrukcji LaTeX-a.
-
- Użytkownik
- Posty: 135
- Rejestracja: 5 lut 2011, o 09:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: xaswq
- Podziękował: 60 razy
równania i tożsamości trygonometryczne
@mat_61, a mógłbyś rozpisać w jaki sposób doszedłeś do takiej postaci?-- 8 paź 2011, o 12:50 --@adampx, z tym, że jak podzielisz równanie\(\displaystyle{ 2 \sin x= - \cos x}\) przez \(\displaystyle{ \ cos x}\) to nie wyjdzie Ci \(\displaystyle{ 2 \tg x = 0}\)tylko \(\displaystyle{ 2 \tg x = -1}\) i wtedy \(\displaystyle{ \tg x = - \frac{1}{2}}\) a nie wiadomo dla jakiego kąta tg ma taką wartość
-
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
równania i tożsamości trygonometryczne
Oczywiście współczynnik przy najwyższej potędze to 1 (już poprawiłem wcześniejszy post).
Można np. sprawdzić czy są pierwiastki całkowite lub wymierne (tw. o pierwiastkach całkowitych/wymiernych wielomianu). W tym przypadku dla a=1 W(a)=0. Następnie podzielić przez (x-1) i jeszcze raz to samo.
W tym konkretnym przypadku można zrobić też tak (przez grupowanie wyrazów):
\(\displaystyle{ t^4-2t^3-2t^2+6t-3=t^4-2t^3-3t^2+t^2+6t-3=(t^4-3t^2)-(2t^3-6t)+(t^2-3)=...}\)
Dalej już chyba widać.
Można np. sprawdzić czy są pierwiastki całkowite lub wymierne (tw. o pierwiastkach całkowitych/wymiernych wielomianu). W tym przypadku dla a=1 W(a)=0. Następnie podzielić przez (x-1) i jeszcze raz to samo.
W tym konkretnym przypadku można zrobić też tak (przez grupowanie wyrazów):
\(\displaystyle{ t^4-2t^3-2t^2+6t-3=t^4-2t^3-3t^2+t^2+6t-3=(t^4-3t^2)-(2t^3-6t)+(t^2-3)=...}\)
Dalej już chyba widać.
-
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 4 mar 2009, o 09:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 29 razy
równania i tożsamości trygonometryczne
Racja, głupi błąd.fart411 pisze: z tym, że jak podzielisz równanie\(\displaystyle{ 2 \sin x= - \cos x}\) przez \(\displaystyle{ \ cos x}\) to nie wyjdzie Ci \(\displaystyle{ 2 \tg x = 0}\)tylko \(\displaystyle{ 2 \tg x = -1}\) i wtedy \(\displaystyle{ \tg x = - \frac{1}{2}}\) a nie wiadomo dla jakiego kąta tg ma taką wartość
W takim razie proponuję w tym miejscu rowiązać sobie układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{sinx}{cosx}=-\frac{1}{2}\\ sin^{2}x+cos^{2}x=1\end{cases}}\)