równania i tożsamości trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
fart411
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 135
Rejestracja: 5 lut 2011, o 09:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: xaswq
Podziękował: 60 razy

równania i tożsamości trygonometryczne

Post autor: fart411 »

1. Funkcje \(\displaystyle{ f(x)= \frac{\sin x + \tg x}{\cos x}}\) i \(\displaystyle{ g(x)= \frac{\sin x}{\sin x + 1}}\) określone są w zbiorze \(\displaystyle{ D = {x \in R: x \neq \frac{ \pi }{2} + k \pi , gdzie k \in C}}\). Wykaż, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ a \in D}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ f(a) \cdot g(a) \ge 0}\)

2. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \tg ^{4}x - 2\tg ^{3}x - 2\tg ^2{x} + 6 \tg x - 3 = 0}\)

Tu użyłem niewiadomej pomocniczej\(\displaystyle{ t= \tg x}\), ale otrzymanego równania nie potrafię rozbić na czynniki.

3. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin x - \cos x + 1 = \sin x \cos x}\)

4. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ (1 - \tg x)(1 + \sin 2x) = 1 + \tg x}\)

najpierw \(\displaystyle{ D= R / { \frac{ \pi }{2} + k \pi}\) i zamieniłem wg wzoru \(\displaystyle{ \sin 2x}\) na \(\displaystyle{ 2 \sin x \cos x}\)otrzynmując w drugim nawiasie postać \(\displaystyle{ (\cos x + \sin x) ^{2}}\) ale nie wiem co dalej

5. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \cos 2x + \sin 2x + 1 = 0}\)
korzystając ze wzorów doszedłem do postaci \(\displaystyle{ 2 \sin x \cos x + \cos ^{2}x=0}\) teraz mogę wyłączyć \(\displaystyle{ \cos x}\) przed nawias ale wciąż w nawiasie zostaje \(\displaystyle{ 2 \sin x + \cos x}\)
Ostatnio zmieniony 8 paź 2011, o 10:30 przez fart411, łącznie zmieniany 4 razy.
adampx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 4 mar 2009, o 09:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 29 razy

równania i tożsamości trygonometryczne

Post autor: adampx »

W 2) końcówka równania to \(\displaystyle{ ...6-3}\)? Jesteś pewny?
fart411
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 135
Rejestracja: 5 lut 2011, o 09:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: xaswq
Podziękował: 60 razy

równania i tożsamości trygonometryczne

Post autor: fart411 »

\(\displaystyle{ ...6 \tg x -3}\) mój błąd
adampx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 4 mar 2009, o 09:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 29 razy

równania i tożsamości trygonometryczne

Post autor: adampx »

3)

Przenieś 1 na prawą stronę i podnieś obie strony do kwadratu. Skorzystaj między innymi z jedynki tryg, wszystko się ładnie upraszcza
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

równania i tożsamości trygonometryczne

Post autor: mat_61 »

2)

\(\displaystyle{ t^4-2t^3-2t^2+6t-3=(t^2-3)(t-1)^2}\)
Ostatnio zmieniony 8 paź 2011, o 11:49 przez mat_61, łącznie zmieniany 1 raz.
adampx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 4 mar 2009, o 09:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 29 razy

równania i tożsamości trygonometryczne

Post autor: adampx »

5.

Dobrze zrobiłeś. Wyciągnij ten \(\displaystyle{ \cos x}\) przed nawias i masz dwa równania które trzeba przyrównać do zera:
\(\displaystyle{ \cos x =0\\
2 \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow 2 \sin x =- \cos x \Leftrightarrow -2 \tg x =0}\)



Teraz się zastanawiam... W sumie nie mogę dzielić przez cosx, bo może wynosić zero... Ale mozna zroibć osobny przypadek dla \(\displaystyle{ \cos x=0}\), wtedy \(\displaystyle{ 2\sin x}\) też jest równe zero i tez rozwiązać to równanie.
Ostatnio zmieniony 8 paź 2011, o 11:16 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 Instrukcji LaTeX-a.
fart411
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 135
Rejestracja: 5 lut 2011, o 09:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: xaswq
Podziękował: 60 razy

równania i tożsamości trygonometryczne

Post autor: fart411 »

@mat_61, a mógłbyś rozpisać w jaki sposób doszedłeś do takiej postaci?-- 8 paź 2011, o 12:50 --@adampx, z tym, że jak podzielisz równanie\(\displaystyle{ 2 \sin x= - \cos x}\) przez \(\displaystyle{ \ cos x}\) to nie wyjdzie Ci \(\displaystyle{ 2 \tg x = 0}\)tylko \(\displaystyle{ 2 \tg x = -1}\) i wtedy \(\displaystyle{ \tg x = - \frac{1}{2}}\) a nie wiadomo dla jakiego kąta tg ma taką wartość
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

równania i tożsamości trygonometryczne

Post autor: mat_61 »

Oczywiście współczynnik przy najwyższej potędze to 1 (już poprawiłem wcześniejszy post).

Można np. sprawdzić czy są pierwiastki całkowite lub wymierne (tw. o pierwiastkach całkowitych/wymiernych wielomianu). W tym przypadku dla a=1 W(a)=0. Następnie podzielić przez (x-1) i jeszcze raz to samo.

W tym konkretnym przypadku można zrobić też tak (przez grupowanie wyrazów):

\(\displaystyle{ t^4-2t^3-2t^2+6t-3=t^4-2t^3-3t^2+t^2+6t-3=(t^4-3t^2)-(2t^3-6t)+(t^2-3)=...}\)

Dalej już chyba widać.
adampx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 4 mar 2009, o 09:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 29 razy

równania i tożsamości trygonometryczne

Post autor: adampx »

fart411 pisze: z tym, że jak podzielisz równanie\(\displaystyle{ 2 \sin x= - \cos x}\) przez \(\displaystyle{ \ cos x}\) to nie wyjdzie Ci \(\displaystyle{ 2 \tg x = 0}\)tylko \(\displaystyle{ 2 \tg x = -1}\) i wtedy \(\displaystyle{ \tg x = - \frac{1}{2}}\) a nie wiadomo dla jakiego kąta tg ma taką wartość
Racja, głupi błąd.

W takim razie proponuję w tym miejscu rowiązać sobie układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{sinx}{cosx}=-\frac{1}{2}\\ sin^{2}x+cos^{2}x=1\end{cases}}\)
ODPOWIEDZ