Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.

[Macin1207]

Witam, mam problem z obliczeniem zadania którego treść brzmi:
Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\), wiedząc że:

\(\displaystyle{ \tg= \frac{1}{2}}\)

Wiem, że \(\displaystyle{ \ctg=2}\), ale z wyliczeniem sinusa i cosinusa mam już problem. Na lekcji pokazywano nam, żeby wyliczyć to z z równania, ale nie wychodzi i poprawny wynik powiedzcie mi gdzie robię błąd.

\(\displaystyle{ \ctg= \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=2 \\ \sin^{2} \alpha +\cos ^{2} \alpha =1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \alpha =2\sin \alpha \\ \sin^{2} \alpha +\cos ^{2} \alpha =1 \end{cases}}\)

No to co mi wyszło jako pierwsze w równaniu czyli: \(\displaystyle{ \cos \alpha =2\sin \alpha}\) podstawiam pod cosinus w 2 części równania i wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha +(2\sin \alpha ) ^{2}=1}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha +4\sin ^{2} \alpha =1}\)

\(\displaystyle{ 5\sin ^{2}=1}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{2}= \frac{1}{5}}\)

\(\displaystyle{ \sin= \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{5} }}\)

\(\displaystyle{ \sin= \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{5} } \cdot \frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{5} }}\)


Coś tu jest nie tak bo wynik powinien być taki:

\(\displaystyle{ \sin= \frac{ \sqrt{5} }{5}}\)

Proszę pomóżcie i napiszcie co jest źle.

[alfgordon]

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{5} } =\frac{1}{\sqrt{5}} =\frac{\sqrt{5}}{5}}\)

[Macin1207]

Dzięki wielkie, a ja kretyn się głowiłem co tu jest źle, a zapomniałem, że \(\displaystyle{ \sqrt{1}=1}\) i nagle okazuje się, że całe zadanie jest dobrze. Jeszcze raz dzięki. [usunięto]