założenia/błędy w rachunkach

[fart411]

1. Sinus kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\) jest o \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) większy od cosinusa tego kąta. Oblicz \(\displaystyle{ \cos\alpha}\)

2. Liczby \(\displaystyle{ 2a + 1}\), \(\displaystyle{ 4a}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{4} \left( 20a +1 \right)}\) są odpowiednio sinusem, cosinusem i tangensem pewnego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\). Znajdź liczbę a.

W pierwszym zadaniu sprowadziłem to do równania kwadratowego \(\displaystyle{ 2 \cos^{2} \alpha - \sqrt{2} \cos \alpha - \frac{1}{2}}\) wprowadziłem niewiadomą \(\displaystyle{ t= \cos \alpha \wedge t \in \langle-1;1\rangle}\), wyliczyłem deltę i wyszły mi dwa rozwiązania \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} - \sqrt{6} }{4} \vee \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{6} }{4}}\) podczas gdy w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}}\). Muszę mieć gdzieś błąd w rachunkach, ale nie mogę go znaleźć.

W drugim zadaniu podstawiłem do wzoru na tangens wszystkie podane liczby i po rachunkach otrzymałem równanie kwadratowe \(\displaystyle{ 20a ^{2} -a -1 = 0}\) i otrzymałem z niego dwa rozwiązania \(\displaystyle{ a=- \frac{1}{5} \vee a= \frac{1}{4}}\). Gdzieś musiałem zgubić założenia, bo w odpowiedziach jest tylko ta pierwsza liczba.

[anna_]

\(\displaystyle{ 2 \cos^{2} \alpha - \sqrt{2} \cos \alpha - \frac{1}{2}}\)

Powinno być:
\(\displaystyle{ 2 \cos^{2} \alpha + \sqrt{2} \cos \alpha - \frac{1}{2}=0}\)

[piasek101]

2) \(\displaystyle{ -1\leq 2a+1\leq 1}\) bo sinus