okrąg opisany i wpisany w trójkąt

[beatrix-x]

Oblicz promień r okręgu wpisanego w trójkąt mając dane R (promień okręgu opisanego), \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\).

Może mam źle narysowane bo w sumie środki tych okręgów są w innym miejscu.. no nie wiem.. z góry dziękuję za pomoc

[bartholdy]

Z tw. sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin\alpha} = 2R \quad\Rightarrow\quad a = 2R\sin\alpha}\)
i dalej...
\(\displaystyle{ c = 2R\sin\beta\\
b = 2R\sin(180-(\alpha+\beta))}\)

Pole trójkąta:
\(\displaystyle{ P_\Delta = \frac{abc}{4R} \quad\Rightarrow\quad P_\Delta = 2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha+\beta)}\)
ale również,
\(\displaystyle{ P_\Delta = \frac{a+b+c}{2}\cdot r\quad\Rightarrow\quad r = \frac{2R\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha+\sin\beta+\sin(\alpha+\beta)}}\)