nierówność związana z trygonometrią

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
tatteredspire
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:59
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 74 razy

nierówność związana z trygonometrią

Post autor: tatteredspire »

Udowodnić \(\displaystyle{ x \in \left[ 0,\frac{ \pi }{2}\right] \Rightarrow \sin x \ge \frac{2x}{ \pi }}\) (ilekroć spełnione jest założenie tylekroć zachodzi teza)

Czy da się to pokazać bez korzystania z pochodnej funkcji? Jakiś pomysł?
Ostatnio zmieniony 30 wrz 2011, o 21:41 przez bartek118, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości - poprawa nawiasów kwadratowych.
Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 475 razy

nierówność związana z trygonometrią

Post autor: Psiaczek »

tatteredspire pisze:Udowodnić \(\displaystyle{ x \in \left[ 0,\frac{ \pi }{2}\right] \Rightarrow \sin x \ge \frac{2x}{ \pi }}\) (ilekroć spełnione jest założenie tylekroć zachodzi teza)

Czy da się to pokazać bez korzystania z pochodnej funkcji? Jakiś pomysł?
Wydaje mi się że to co chcesz ma związek z takim zadaniem:

Jeżeli \(\displaystyle{ 0<x< y < \frac{ \pi }{2}}\)

to:

\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}> \frac{\sin y}{y}}\)

A to można bez pochodnych, oznaczyć y=x+p, odjąć te ułamki, wprowadzić kosinus i tangens,
korzystać jednak trzeba z takich rzeczy:

\(\displaystyle{ 1- \cos p >0,\tan x >x, \frac{\sin p}{p}<1}\)

i wyjdzie że odpowiednia różnica jest dodatnia.
ODPOWIEDZ