Udowodnić \(\displaystyle{ x \in \left[ 0,\frac{ \pi }{2}\right] \Rightarrow \sin x \ge \frac{2x}{ \pi }}\) (ilekroć spełnione jest założenie tylekroć zachodzi teza)
Czy da się to pokazać bez korzystania z pochodnej funkcji? Jakiś pomysł?
nierówność związana z trygonometrią
-
- Użytkownik
- Posty: 716
- Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:59
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 83 razy
- Pomógł: 74 razy
nierówność związana z trygonometrią
Ostatnio zmieniony 30 wrz 2011, o 21:41 przez bartek118, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości - poprawa nawiasów kwadratowych.
Powód: Poprawa wiadomości - poprawa nawiasów kwadratowych.
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
nierówność związana z trygonometrią
Wydaje mi się że to co chcesz ma związek z takim zadaniem:tatteredspire pisze:Udowodnić \(\displaystyle{ x \in \left[ 0,\frac{ \pi }{2}\right] \Rightarrow \sin x \ge \frac{2x}{ \pi }}\) (ilekroć spełnione jest założenie tylekroć zachodzi teza)
Czy da się to pokazać bez korzystania z pochodnej funkcji? Jakiś pomysł?
Jeżeli \(\displaystyle{ 0<x< y < \frac{ \pi }{2}}\)
to:
\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}> \frac{\sin y}{y}}\)
A to można bez pochodnych, oznaczyć y=x+p, odjąć te ułamki, wprowadzić kosinus i tangens,
korzystać jednak trzeba z takich rzeczy:
\(\displaystyle{ 1- \cos p >0,\tan x >x, \frac{\sin p}{p}<1}\)
i wyjdzie że odpowiednia różnica jest dodatnia.