równanie z logarytmami 2

[Nimir]

\(\displaystyle{ cosx + \sqrt{3} sinx = log(m-1) - log(3-m)}\)

Podejrzewam, że trzeba lewą stronę doprowadzić do "ładnego " stanu, a później obliczyć dla jakich m prawa strona zawiera się w zbiorze wartości lewej strony, ale jakoś nic mi nie przychodzi do głowy od czego zacząć to uproszczanie.

EDIT: No i mam jeszcze jedno ciekawe równanie:

\(\displaystyle{ 3^{sin ^{2} x} =3 ^{cos ^{2}x } +2}\)

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \cos x + \sqrt{3} \sin x=2\left( \frac{1}{2} \cos x + \frac{ \sqrt{3} }{2} \sin x \right)=2\left( \sin \frac{\pi }{6} \cos x + \cos \frac{\pi }{6} \sin x\right)}\)

Widzisz coś teraz? Zwinąć to trzeba. Prawa strona dziedzina.

[lukasz1804]

Podziel równanie stronami przez 2, zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}=\sin\frac{\pi}{6}, \frac{\sqrt{3}}{2}=\cos\frac{\pi}{6}}\). Po lewej stronie równania zastosuj wzór na sinus sumy kątów. Jakie wartości przyjmuje lewa strona równania? Ułóż odpowiedni warunek dla strony prawej, pamiętając o istnieniu obu logarytmów.

[Nimir]

No to byłem blisko, wynik jest dość zaskakujący. Jeszcze jak ktoś by pomógł z tym drugim równaniem.

[lukasz1804]

Skorzystaj z jedynki trygonometrycznej otrzymując np. \(\displaystyle{ \cos^2x=1-\sin^2x}\), pomnóż równanie stronami przez \(\displaystyle{ 3^{\sin^2x}}\), sprowadź wszystkie wyrazy na jedną stronę równania (przyrównując ją do zera), wykonaj podstawienie \(\displaystyle{ t=3^{\sin^2x}}\) i rozwiąż pomocnicze równanie kwadratowe.

[kamil13151]

\(\displaystyle{ 3^{sin ^{2} x} =3 ^{cos ^{2}x } +2}\)

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \(\displaystyle{ \cos^2 x = 1 - sin^2 x}\)

\(\displaystyle{ 3^{sin ^{2} x} =3 ^{1 - sin^2 x } +2}\)

\(\displaystyle{ 3^{sin ^{2} x} = \frac{3}{3^{sin^2 x} } +2}\)

Zmienna pomocnicza \(\displaystyle{ t=3 ^{sin^2 x}}\).