równanie z logarytmami

[Nimir]

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{\left( \log _{0,5} \sin x\right) ^{2}} + \left( \sin x\right) ^{\log _{0,5} \sin x} = 1}\)
Ktoś chętny do pomocy?

[frej]

Udowodnij, że \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right)^{\left( \log_{\frac{1}{2}} \sin x \right)^2} = \left( \sin x \right)^{\log_{\frac{1}{2}} \sin x}}\). Potem łatwo

[Nimir]

No to zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{\left( log _{ \frac{1}{2} } sinx \right) ^{2} } + \left( sinx\right) ^{log _{\frac{1}{2} } sinx} = 1

Pomine obliczenia, tylko odrazu przejde do tego, że jeden wyraz jest równy drugiemu

2\left[ \left( \frac{1}{2} \right) ^{log _{\frac{1}{2}} sinx } \right] ^{2} =1

\left[ \left( \frac{1}{2} \right) ^{log _{\frac{1}{2}} sinx } \right] ^{2} = \frac{1}{2}

\left( \frac{1}{2} \right) ^{log _{\frac{1}{2}} sinx }= \frac{ \sqrt{2} }{2}

\left( \frac{1}{2} \right) ^{log _{\frac{1}{2}} sinx }= \left( \frac{1}{2} \right) ^{ \frac{1}{2}
}

log _{ \frac{1}{2} }sinx= \frac{1}{2} \Rightarrow sinx= \frac{ \sqrt{2} }{2}}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4} } + 2k \pi \cup \frac{3 \pi }{4} } + 2k \pi \wedge k \in C}\)

Teraz mam dylemat, czy to jest dobrze czy jak, bo w odpowiedziach są rozwiązania jak dla
\(\displaystyle{ sinx= \frac{1}{2}}\)

[frej]

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2}=\left| x \right|}\)

[piasek101]

Tu było :
234839.htm