trudny przykład równania

[major37]

\(\displaystyle{ 2 \cos x =\log y + \frac{1}{\log y}}\)

Nie mam pojęcia od czego tu zacząć i jak to rozwiązać. Proszę o pomoc

[bartek118]

Właściwie to można wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) w zależności od \(\displaystyle{ y}\) i tyle, bo mamy tylko jedno równanie i aż dwie zmienne

[major37]

Ale jak ?

[tometomek91]

Dziedzina \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) i \(\displaystyle{ y>0}\). Niech \(\displaystyle{ y \ge 1}\), wtedy \(\displaystyle{ \log y \ge 0}\) i mamy
\(\displaystyle{ \log y + \frac{1}{\log y} \ge 2}\)
oraz
\(\displaystyle{ 2 \cos{x} \le 2}\)
więc rozwiązania to \(\displaystyle{ x=2k \pi}\) (\(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\)) i \(\displaystyle{ y=10}\).
Niech teraz \(\displaystyle{ y \in (0,1)}\) wtedy jest prawa strona mniejsza od \(\displaystyle{ -2}\), czyli brak rozwiązań.

[major37]

Czyli jest tylko jedno rozwiązanie ?

[tometomek91]

Czyli jest tylko jedno rozwiązanie ?

Nie, rozwiązaniami są pary \(\displaystyle{ (x,y)=(2k \pi, 10)}\) gdzie \(\displaystyle{ k}\) przebiega cały zbiór liczb całkowitych.

[major37]

A bo z tyłu mam jeszcze pare \(\displaystyle{ x=\pi + 2k \pi}\) i \(\displaystyle{ y=0,1}\) skąd oni to wzieli ?

-- 26 wrz 2011, o 22:05 --

tam między pi a y powinna być spacja a nie wiem czemu jej nie ma.

[kamil13151]

Niech teraz \(\displaystyle{ y \in (0,1)}\) wtedy jest prawa strona mniejsza od \(\displaystyle{ -2}\), czyli brak rozwiązań.

\(\displaystyle{ \log y + \frac{1}{\log y} \le -2}\) dla \(\displaystyle{ y \in (0,1)}\)
Jest rozwiązanie...

[tometomek91]

No właśnie pospieszyłem sie z tymi ujemnymi logarytmami niech \(\displaystyle{ y \in (0,1)}\) wtedy wartość
\(\displaystyle{ logy}\) jest ujemna, czyli wartość \(\displaystyle{ -logy>0}\) ale \(\displaystyle{ -logy=\frac{1}{logy}>0}\) więc równanie się nie zmienia. Teraz pytamy, kiedy \(\displaystyle{ logy=-1}\) i stąd \(\displaystyle{ y=\frac{1}{10}}\). Więc są jeszcze dodatkowe pary, które spełniają to równanie, własnie takie jak napisałeś major37.

[major37]

Ok:) Dzięki:)

[kamil13151]

Dziedzina \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) i \(\displaystyle{ y>0}\). Niech \(\displaystyle{ y \ge 1}\)

Powinno być: Niech \(\displaystyle{ y>1}\), \(\displaystyle{ y=1}\) odrzucamy, bo nie możemy dzielić przez zero.

[major37]

a i \(\displaystyle{ k \in C}\) nie powinno tak być ? Dzięki Kamil13151, biorę się do przepisania na czysto do zeszytu:)

[kamil13151]

\(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\) równoważy z \(\displaystyle{ k \in \mathbb{C}}\), ten pierwszy to taki międzynarodowy zapis.

[major37]

Ok:) Wielkie dzięki Kamil:)

[joe74]

Czy to właściwy zapis

\(\displaystyle{ -\log y=\frac{1}{\log y}>0}\)

skoro

\(\displaystyle{ -\log y= \log\frac{1}{y}}\)