najmniejsza/najwieksza wartosc funkcji

[Mati =)]

hej, tak tak wiem że proste i tak dalej ale ja wgl nie rozumiem trygonometrii. Gdzieś mam straszne braki i nie potrafię się do końca teraz się odnaleźć ale jeszcze to nadrobię.
Do rzeczy, prosiłbym żeby ktoś mi WYJAŚNIŁ I POKAZAŁ jak rozwiązywać takie proste zadanie:
Wyznacz najmniejszą oraz największą wartość funkcji:
1) \(\displaystyle{ y=\sin \left(2x - \frac{ \pi }{3} \right)}\)
2) \(\displaystyle{ y= \sqrt{\sin ^{2}2x }}\)
3) \(\displaystyle{ y= \sin x - \cos x}\)

[kamil13151]

1) Jaka jest najmniejsza i największa wartość funkcji \(\displaystyle{ y= \sin x}\) ?

[Kamil Wyrobek]

A, więc tak. Przykład a) jeżeli w nawiasie znajdziesz coś przy argumencie x.
Postaraj się to wyciągnąć przed nawias. W ten sposób:
\(\displaystyle{ \sin \left(2x - \frac{ \pi }{3} \right)=\sin 2\left(x - \frac{ \pi }{6} \right)}\)
I teraz okres funkcji w zależności co wyciągniesz przed nawias to wstawiasz obok T.
\(\displaystyle{ 2T=2 \pi\\ T= \pi}\)
Nowy okres funkcji to \(\displaystyle{ \pi}\)
A, więc jest to funkcja o okresie \(\displaystyle{ \pi}\) przesunięta o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) w lewo.
Najprościej mówiąc w wypadku gdy masz:
\(\displaystyle{ y=\sin \left(2x - \frac{ \pi }{3} \right)}\)
Nie zmieniają się min. i max. wartości. Pozostają one w przedziale \(\displaystyle{ \left[-1,1\right]}\)
Natomiast gdy masz zadanie w którym:
\(\displaystyle{ y=2\sin \left(x - \frac{ \pi }{3} \right)}\)
Wtedy wartości znajdują się w przedziale \(\displaystyle{ \left[-2,2\right]}\)

[wb]

1) Zbiorem wartości funkcji sinus jest przedział \(\displaystyle{ \left[-1;1\right]}\) zatem -1 jest wartością najmniejszą a 1 największą.
2)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{\sin ^2{2x}}=\left| \sin 2x\right\right|}\)
Zbiorem wartości jest tym razem ( z powodu wartości bezwzględnej) przedział <0;1>.
3)
\(\displaystyle{ y=\sin x-\cos x=\sin x-\sin \left(x+ \frac{\pi}{2}\right)=2\sin \frac{x-\frac{\pi}{2}}{2}\cos \frac{x+\frac{\pi}{2}}{2}}\)
Zbiorem wartości jest tu \(\displaystyle{ \left[-2;2\right]}\)

[kamil13151]

wb, 3) czyżby?

\(\displaystyle{ \sqrt{2} \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \sin x - \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos x \right) =\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \sin x - \sin \frac{\pi}{4} \cos x \right) =\sqrt{2} \cdot \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)}\)

Przedział \(\displaystyle{ [- \sqrt{2}; \sqrt{2}]}\)

[Kamil Wyrobek]

Kurczę no nie mogę się zgodzić co do przykładu 3. Kamil ma rację.

[Mati =)]

hmm
a jak mam \(\displaystyle{ y=3\sin \frac{x}{3}}\)to zbiorem wartości będzie\(\displaystyle{ \left[-3,3\right]}\)?

[kamil13151]

Zgadza się.