Równania trygonometryczne i ustalanie tożsamości.

[Vekka]

Rozwiąż równania:

\(\displaystyle{ 4 \cos ^ {2}x+ \cos ^ {2}2x=2\\ \cos x -\sqrt{3} \sin x =1\\ 4 \sin ^ {2}x+2(\sqrt{2}-1) \sin x =\sqrt{2}\\ 2 \sin ^ {3}x+ \sin x \cos x - \sin x =0\\ 6 \ctg ^ {2}x-4 \cos ^ {2}x=1\\ \tg ^ {2}x + \frac{3}{ \cos x }+3=0}\)

Ustal tożsamość:

\(\displaystyle{ \frac{ \cos x + \sin x }{ \cos x - \sin x } = \tg 2 x + \frac{1}{ \cos 2 x}\\
\frac{1+2 \tg x - \tg ^ {2}x }{ \cos 2 x+ \sin 2 x} = \frac{1}{ \cos ^ {2}x } \\1+ \sin 4 x= \left( 1+2 \sin x \cos x -2 \sin ^ {2} \right) ^{2} \\\frac{ \cos x - \sin x }{ \cos x \sin x } = \frac{2 \ctg 2 x}{ \cos x + \sin x } \\2 \left( \ctg 2 x+ \frac{1}{ \sin 2 x} \right) = \ctg \frac{x}{2} - \tg \frac{x}{2} \\
\frac{- \cos 2 x}{ \sin x \cos x } = \tg x - \ctg x \\
\frac{ \cos 2 x}{ \ctg ^ {2}x - \tg ^ {2}x } = \frac{1}{4} \sin ^ {2}2x}\)

Nie bardzo rozumiem rozwiązywania równań trygonometrycznych, więc jeśliby ktoś objaśnienie dodał do rozwiązań to byłabym wdzięczna.

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ \cos2x=2\cos^2x-1}\) - wykorzystaj to w pierwszym równaniu, następnie wykonaj działania i rozłóż na czynniki stosując wzory skróconego mnożenia tak żeby po jednej stronie równania mieć \(\displaystyle{ 0}\). Dalej już otrzymujesz bezpośrednio serie rozwiązań.

[piasek101]

2) Podzielić stronami przez 2; jest :

\(\displaystyle{ 0,5 \cos x -0,5\sqrt 3 \sin x =0,5}\)

\(\displaystyle{ \sin 3 0^\circ\cdot \cos x - \cos 3 0^\circ\cdot \sin x =0,5}\) (na lewej zwinąć ze wzoru ...)

3) Podstawić coś zamiast sinusa, rozwiązać kwadratowe, wrócić do podstawienia.