Dwie sumy

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ a, b, c \in R}\) i takie ze:
\(\displaystyle{ \cos(a)+\cos(b)+\cos(c)=\sin(a)+\sin(b)+\sin(c)=0}\)
wykazac, że wtedy:
\(\displaystyle{ \cos(2a)+\cos(2b)+\cos(2c)=\sin(2a)+\sin(2b)+\sin(2c)=0}\)

[tatteredspire]

Założenie:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a,b,c \in R\\\cos(a)+\cos(b)+\cos(c)=0\\
\sin(a)+\sin(b)+\sin(c)=0
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a,b,c \in R\\\cos(c)=-\cos(a)-\cos(b)\\
\sin(c)=-\sin(a)-\sin(b)
\end{array}\right.}\)

Teza:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a,b,c \in R\\\cos(2a)+\cos(2b)+\cos(2c)=0\\
\sin(2a)+\sin(2b)+\sin(2c)=0
\end{array}\right}\)

Przekształcam równoważnie tezę:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a,b,c \in R\\\cos(2a)+\cos(2b)+\cos(2c)=0\\
\sin(2a)+\sin(2b)+\sin(2c)=0
\end{array}\right\\ \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a,b,c \in R\\\cos(2a)-\sin(2a)+\cos(2b)-\sin(2b)+\cos(2c)-\sin(2c)=0\\
\sin(2a)+\sin(2b)+\sin(2c)=0
\end{array}\right\\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a,b,c \in R\\\cos(2a)-\cos(\frac{\pi}{2}-2a)+\cos(2b)-\cos(\frac{\pi}{2}-2b)+\cos(2c)-\cos(\frac{\pi}{2}-2c)=0\\
\sin(2a)+\sin(2b)+\sin(2c)=0
\end{array}\right\\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a,b,c \in R\\\ -2\sin(\frac{\pi}{4})\sin(2a-\frac{\pi}{4})-2\sin(\frac{\pi}{4})\sin(2b-\frac{\pi}{4})-2\sin(\frac{\pi}{4})\sin(2c-\frac{\pi}{4})=0\\
\sin(2a)+\sin(2b)+\sin(2c)=0
\end{array}\right\\ \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a,b,c \in R\\\ \sin(2a)+\sin(2b)+\sin(2c)=0\\
\sin(2a-\frac{\pi}{4})+\sin(2b-\frac{\pi}{4})+\sin(2c-\frac{\pi}{4})=0
\end{array}\right\\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a,b,c \in R\\\ 2\sin(a)\cos(a)+2\sin(b)\cos(b)+2\sin(c)\cos(c)\\
\sin(2a-\frac{\pi}{4})+\sin(2b-\frac{\pi}{4})+\sin(2c-\frac{\pi}{4})=0
\end{array}\right\\ \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a,b,c \in R\\\ 2\sin(a)\cos(a)+2\sin(b)\cos(b)+2\sin(c)\cos(c)=0\\
\sin(2a)\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(2a)+\sin(2b)\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(2b)+\sin(2c)\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(2c)=0 \end{array}\right\\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a,b,c \in R\\\ \sin(a)\cos(a)+\sin(b)\cos(b)+\sin(c)\cos(c)=0\\
\sin(2a)-\cos(2a)+\sin(2b)-\cos(2b)+\sin(2c)-\cos(2c)=0 \end{array}\right\\}\)

W tym momencie korzystam z założenia i podstawiam za \(\displaystyle{ \sin(c)=-\sin(a)-\sin(b)}\) na razie tylko w "górnym" równaniu

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a,b,c \in R\\\ \sin(a)\cos(a)+\sin(b)\cos(b)+(\sin(a)+\sin(b))(\cos(a)+\cos(b))=0\\
\sin(2a)-\cos(2a)+\sin(2b)-\cos(2b)+\sin(2c)-\cos(2c)=0 \end{array}\right\\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a,b,c \in R\\\ \sin(a)\cos(a)+\sin(b)\cos(b)+\sin(a)\cos(a)+\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)+\sin(b)\cos(b)=0\\
2\sin(a)\cos(a)+1-2\cos^2(a)+2\sin(b)\cos(b)+1-2\cos^2(b)+2\sin(c)\cos(c)+1-2\cos^2(c)=0 \end{array}\right\\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a,b,c \in R\\\ 2\sin(a)\cos(a)+2\sin(b)\cos(b)+\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)=0\\
2\sin(a)\cos(a)+2\sin(b)\cos(b)+2\sin(c)\cos(c)-2\cos^2(a)-2\cos^2(b)-2\cos^2(c)+3=0 \end{array}\right\\}\)

Teraz wykonuję podstawienie (korzystając z założenia) w drugim równaniu:

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a,b,c \in R\\\ 2\sin(a)\cos(a)+2\sin(b)\cos(b)+\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)=0\\
2\sin(a)\cos(a)+2\sin(b)\cos(b)+2(\sin(a)+\sin(b))(\cos(a)+\cos(b))\\-2\cos^2(a)-2\cos^2(b)-2(\cos(a)+\cos(b))^2 +3=0 \end{array}\right\\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a,b,c \in R\\\ 2\sin(a)\cos(a)+2\sin(b)\cos(b)+\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)=0\\
\sin(a)\cos(a)+\sin(b)\cos(b)+\sin(a)\cos(a)+\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)+\sin(b)\cos(b)\\-\cos^2(a)-\cos^2(b)-\cos^2(a)-\cos^2(b)-2\cos(a)\cos(b)+\frac{3}{2}=0 \end{array}\right\\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a,b,c \in R\\\ 2\sin(a)\cos(a)+2\sin(b)\cos(b)+\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)=0\\
2\sin(a)\cos(a)+2\sin(b)\cos(b)+\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)\\-2\cos^2(a)-2\cos^2(b)-2\cos(a)\cos(b)+\frac{3}{2}=0 \end{array}\right\\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a,b,c \in R\\\ 2\cos^2(a)+2\cos^2(b)+2\cos(a)\cos(b)-\frac{3}{2}=0\\
2\sin(a)\cos(a)+2\sin(b)\cos(b)+\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)\\-2\cos^2(a)-2\cos^2(b)-2\cos(a)\cos(b)+\frac{3}{2}=0 \end{array}\right\\}\)

Teoretycznie da się to rozwiązać ten układ, rozważając przypadki, uzależniając sinusy od cosinusów, ale jak to dość łatwo zrobić praktycznie - nie mam pomysłu.