Znając obwód trójkąta i korzystając z rysunku, oblicz h.

[strategiehalasu]

AU

s3lich.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 96 razy

\(\displaystyle{ Obwod = (12 + 4\sqrt{2} + 4\sqrt{3}) cm}\)

Jest to zadanie z zakresu trygonometrii, aczkolwiek można je rozwiązać posługując się twierdzeniami dotyczącymi trójkątów 30, 60, 90 oraz 45, 45, 90. Robiłam tak i doszłam do równania, którego nie potrafię rozwiązać.

\(\displaystyle{ h + h\sqrt{2} + 2h + h\sqrt{3} = 12 + 4\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}\)

[anna_]

Podpowiedź: trójkąt po lewej stronie jest równoramienny.

[strategiehalasu]

Zawarłam to w tym równaniu. Tylko, że nie umiem z niego wyliczyć h. Nie wiem jak pozbyć się pierwiastków.

[anna_]

\(\displaystyle{ h + h\sqrt{2} + 2h + h\sqrt{3} = 12 + 4\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ h(3+ \sqrt{2} + \sqrt{3} )=4(3 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}\)

\(\displaystyle{ h= \frac{4(3 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{3+ \sqrt{2} + \sqrt{3} }}\)

\(\displaystyle{ h=4}\)

[strategiehalasu]

Dzięki wielkie;)

[xiikzodz]

Dobrze masz. Został drobiazg arytmetyczny. Ale wypiszę całość:



Wyraźmy obwód przy użyciu \(\displaystyle{ h}\):

\(\displaystyle{ b=h}\) (jak we wskazówce powyżej)

\(\displaystyle{ c=\sqrt{h^2+h^2}=h\sqrt 2}\) (Pitagoras)

\(\displaystyle{ d=e=h}\) (Zielony trójkąt jest równoboczny, gdzie \(\displaystyle{ A}\) to środek odpowiedniegio boku)

\(\displaystyle{ a=\sqrt{(2h)^2-h^2}=\sqrt{3h^2}=h\sqrt 3}\).

Stąd obwód jest równy:

\(\displaystyle{ a+b+c+d+e=h\sqrt 3+h+h\sqrt 2+h+h=h(3+\sqrt 3+\sqrt 2)}\).

Z drugiej strony z danych zadania wiemy, że ten obwód to:

\(\displaystyle{ 12+4\sqrt 3+4\sqrt 2}\)

zatem:

\(\displaystyle{ h=\frac{12+4\sqrt 3+4\sqrt 2}{3+\sqrt 3+\sqrt 2}=4}\)