Obliczenie boków w trójkącie, a następnie wartości wyrażenia

[kuba_abuk]

Witam, mam problem z zadaniami w których należy obliczyć brakujący bok (to raczej robię dobrze), a następnie obliczyć wartość wyrażenia.

Przedstawię tutaj jak robię jedno z takich zadań.

Na rysunku planowym mam trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{7}}\), przyprostokątna przy kącie \(\displaystyle{ \alpha}\) wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), muszę obliczyć brakujący bok.
Stosuję Pitagorasa.
\(\displaystyle{ \left( \sqrt{3} \right) ^{2}+ b ^{2}= \left( \sqrt{7} \right) ^{2} \\
3+b ^{2}=7 \\
b ^{2}= 7-3 \\
b ^{2}= 4 \\
b=2}\)

A więc:
\(\displaystyle{ a= \sqrt{3} \\
b= 2 \\
c= \sqrt{7}\\
\sin \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{7} } \\
\cos \alpha = \frac{2}{ \sqrt{7} } \\
\tg \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2}\\
\ctg \alpha = \frac{2}{ \sqrt{3} }}\)

Obliczyć mam wartość wyrażenia:
\(\displaystyle{ \left( \sin \alpha +\tg \alpha \right) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{7} } + \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) ^{2} = \left( \frac{3}{7} + \frac{3}{4} \right) =}\)

No i dalej nie wiem zbytnio jak działać.
Powinno wyjść: \(\displaystyle{ \frac{40+8 \sqrt{21} }{21}}\)

Z góry wielki dzięki za pomoc!

[piti-n]

Wedlug mnie cos namieszales juz przy definicji funkcji trygonometrycznych.
\(\displaystyle{ \sin \alpha}\) -to stosunek przyprostokatnej lezacej naprzeciwko kata (nie przy kacie) do przeciwprostokatej. Reszte tez masz zle

Pozniej juz przy tym dodawaniu, sprowadz do wspolnego mianownika, podniec do potegi \(\displaystyle{ ^{2}}\) i po sprawie

[kuba_abuk]

No tak, zgadza się. Źle poopisywałem boki. Poprawione.

Teraz pytanie, czy dobrze obliczyłem wartość wyrażenia:

\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{ \sqrt{7} } + \frac{2}{ \sqrt{3} } \right) ^{2} = \frac{4}{7} + \frac{4}{3} = \frac{12}{21} + \frac{28}{21} = \frac{40}{21} = 1\frac{19}{21}}\)

[piti-n]

\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{ \sqrt{7} } + \frac{2}{ \sqrt{3} } \right) ^{2}= \left( \frac{2 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} \cdot \sqrt{7} }+ \frac{2 \sqrt{7} }{ \sqrt{3} \cdot \sqrt{7} } \right) ^{2} =...}\)

[kuba_abuk]

Mógłbyś słownie opisać dlaczego tak, a nie inaczej? Widzę że tutaj jest mnożenie na krzyż, czyli w każdym takim przypadku, mnożymy na krzyż?

[piti-n]

Nie ma zadnego mnozenia na krzyz. Poprostu przy dodawaniu/odejmowaniu ulamkow musisz najpierw sprowadzic do wspolnego mianownika. Moglbys jeszcze to rozwiazac kozystajac ze wzoru skroconego mnozenia

PS:przepraszam modelatorow za brak polskich znakow ale jestem na live cd i nie mam polskich znakow wgranych

[kuba_abuk]

A no tak! Już rozumiem, dzięki za pomoc .

Teraz już raczej będę wiedział co i jak .