Obliczenie zamalowanej części koła

[monex]

Witajcie. Mam problem z zadaniem. Muszę obliczyć zacieniowany obszar w przekroju koła o średnicy 5 cm. Następnie obliczyć jaką część przekroju koła zajmuję zamalowana część. Oczywiście za pomocą funkcji trygonometrycznych. Przesyłam link do zdjęcia rysunku.



Pamiętajcie promień 2,5cm.
Próbowałem różnie ale nie wiedziałem, jak obliczyć tą część od połowy koła w górę.
Sory za rysunek, ale rysowałem jak najszybciej ;D
Pozdrawiam.

[florek177]

Zrób wycinek koła, policz jego pole, odejmij je od pola połowy koła, dodaj pole trójkąta.

[monex]

Hmm, mógłbyś jakoś inaczej wytłumaczyć bo nie bardzo rozumiem

[alfgordon]

narysuj od środka koła do cięciwy dwa promienie i oblicz miarę kąta pomiędzy tymi promieniami

[monex]

Utworzyłem trójkąt równoramienny, podzieliłem go na 2 prostokątne i obliczyłem ten kąt. Później obliczyłem pole całego trójkąta i tych skrawków co mi zostały oraz wszystko dodałem (połowę koła, trójkąt i skrawki) i wynik wyszedł mi o 0.02 źle, nie wiem co mogłem zawalić ;/

[alfgordon]

jeżeli wszystko dobrze policzyłeś to zapewne gdzieś zaokrągliłeś wynik

[KowalskiMateusz]

\(\displaystyle{ x^2+\frac{1}{2}^2=2.5^2 \\}\)
\(\displaystyle{ x=\sqrt{6} \\}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha =\frac{0.5}{2.5}=\frac{1}{5} \\}\)

\(\displaystyle{ P_{zf}=P_w+P_{\Delta}}\)
\(\displaystyle{ P_{zf}=\frac{360^\circ -2\alpha }{360^\circ }\cdot \pi r^2+\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot 0.5 \\}\)
\(\displaystyle{ P_{zf}=(1-\frac{\arccos\frac{1}{5}}{180^\circ })\pi \cdot \frac{25}{4}+\frac{\sqrt{6}}{2} \\}\)
\(\displaystyle{ P_{zf}\approx 12.3007089188}\)

[monex]

Wychodzi dobrze, tylko że nie miałem czegoś takiego jak \(\displaystyle{ \arccos}\) i pole trójkąta obliczałem za pomocą wzoru \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ab\sin \alpha}\), gdzie a i b to boki przy kącie \(\displaystyle{ \alpha}\), czyli w tym przypadku 2.5 i 0.5, ale powinni to uznać. Mógłbyś inaczej to zapisać?

[alfgordon]

\(\displaystyle{ \arccos}\) to po prostu kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)
zobacz do tablic dla jakiego \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \cos \alpha =0,2}\)