Udowodnij nierownosc.

lenkaja · Post autor: **lenkaja** » 14 wrz 2011, o 13:55

Wykaz, ze dla kazdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) i dla kazdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) z przedzialu \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{ \pi }{2} \right)}\) zachodzi nierownosc
\(\displaystyle{ \frac{\sin ^{n+2}x }{\cos ^{n}x }+ \frac{\cos ^{n+2}x }{\sin ^{n}x } \ge 1.}\)

RSM · Post autor: **RSM** » 14 wrz 2011, o 16:10

Do wspólnego mianownika i skorzystać z nier. między średnimi potęgowymi stopnia n+1.

lenkaja · Post autor: **lenkaja** » 15 wrz 2011, o 12:04

Jakos mi nic z tego nie wychodzi...
Jak sprowadze do wspolnego mianownika to mam
\(\displaystyle{ \frac{\sin ^{n+2}x +\cos ^{n+2} x}{\cos ^{n}x\sin ^{n}x } \ge 1}\).
Ale jak tu skorzystac z tej nierownosci miedzy srednimi??

frej · Post autor: **frej** » 15 wrz 2011, o 18:08

Musisz udowodnić \(\displaystyle{ \left( \sin ^{2} x \right) ^{n+1} + \left( \cos ^2 x \right)^{n+1} \ge \left( \cos x \cdot \sin x \right)^n}\)
Zastosuj nierówność między średnimi potęgowymi dla lewej strony i nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną dla drugiej strony.

lenkaja · Post autor: **lenkaja** » 15 wrz 2011, o 18:22

Zrobilam Dzieki

-- 15 wrz 2011, o 18:32 --

Chociaz nie...
Juz napisze w czym mam problem:
Doszlam do takiej nierownosci:
\(\displaystyle{ \left( \sin ^{2}x \right) ^{n+1}+ \left( \cos ^{2}x \right) ^{n+1} \ge 2 \left( \cos x \sin x \right) ^{n+1}.}\) A to nie jest to samo.

lenkaja · Post autor: **lenkaja** » 27 wrz 2011, o 18:04

Moze ktos potrafi pomoc?

brzoskwinka1 · Post autor: **brzoskwinka1** » 27 wrz 2011, o 18:10

\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}}\) więc
\(\displaystyle{ \sin^{2n+2} x +\cos^{2n+2} x \ge 2\sqrt{\sin^{2n+2} x \cdot \cos^{2n+2} x}=2|\sin^{n+1} x \cdot \cos^{n+1} x| \ge 2 \sin^{n+1} x \cdot \cos^{n+1} x}\)

lenkaja · Post autor: **lenkaja** » 27 wrz 2011, o 18:17

Tak, tylko, ze wlasnie do tego doszlam, a nie to trzeba udowodnic, tylko troche cos innego... popatrz na poczatek postu.

frej · Post autor: **frej** » 27 wrz 2011, o 20:22

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i pomnożeniu przez mianownik musimy udowdnić
\(\displaystyle{ (\sin ^2x)^{n+1}+(\cos^2x)^{n+1} \ge (\cos x \cdot \sin x)^n}\)
Z nierówności między średnimi potęgowymi mamy:
\(\displaystyle{ \sqrt[n+1]{\frac{(\sin ^2x)^{n+1}+(\cos^2x)^{n+1} }{2}} \ge \frac{\sin ^2 x + \cos^2}{2}=\frac{1}{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ (\sin ^2x)^{n+1}+(\cos^2x)^{n+1} \ge \left(\frac{1}{2}\right)^n}\)
Do zakończenia dowodu wystarczy pokazać
\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2}\right)^n \ge (\cos x \cdot \sin x)^n}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ge \sin x \cdot \cos x}\)
ale to jest konsekwencja nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną liczb \(\displaystyle{ \sin^2x, \cos^2x}\)

lenkaja · Post autor: **lenkaja** » 27 wrz 2011, o 22:19

Dziekuje bardzo Dobrze myslalam, tylko za bardzo namieszalam