\(\displaystyle{ \sin 3 x + \cos 3 x = \sqrt{2}}\)
Proszę o pomoc
Rozwiąż równanie
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 11 lut 2010, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 3 razy
Rozwiąż równanie
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2011, o 18:24 przez ares41, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 4672
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 124 razy
- Pomógł: 978 razy
Rozwiąż równanie
Może ktoś ma lepszy pomysł, ale ja mam taki:
Podstawiamy \(\displaystyle{ t=3x}\)
Lewą stronę można uprościć:
\(\displaystyle{ \sin t+\cos t= \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt2}{2}\sin t+ \frac{\sqrt2}{2}\cos t \right)=\sqrt2\left( \cos \frac{\pi}{4}\sin t+\sin \frac{\pi}{4}\cos t \right)=\sqrt2\sin \left( t+\frac{\pi}{4}\right)}\)
Czyli zostaje nam \(\displaystyle{ \sqrt2\sin \left( t+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2}\), co już łatwo rozwiązać.
Podstawiamy \(\displaystyle{ t=3x}\)
Lewą stronę można uprościć:
\(\displaystyle{ \sin t+\cos t= \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt2}{2}\sin t+ \frac{\sqrt2}{2}\cos t \right)=\sqrt2\left( \cos \frac{\pi}{4}\sin t+\sin \frac{\pi}{4}\cos t \right)=\sqrt2\sin \left( t+\frac{\pi}{4}\right)}\)
Czyli zostaje nam \(\displaystyle{ \sqrt2\sin \left( t+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2}\), co już łatwo rozwiązać.