uprość wyrażenie i sprawdź tożsamość

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Master302
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 7 gru 2010, o 18:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MŁPK
Podziękował: 29 razy

uprość wyrażenie i sprawdź tożsamość

Post autor: Master302 »

Więc proszę o pomoc w kilku przykładach:

1. Uprość wyrażenie:

\(\displaystyle{ a) \tg \alpha + \frac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha } \\
b) \ \left( \cos \alpha \cdot \tg \alpha +\sin \alpha \cdot \ctg \alpha \right) ^2 \\
c) \ \left( \sin \alpha + \cos \alpha \right) ^2 + \left( \cos \alpha - \sin \alpha \right) ^2 \\
d) \ \frac{1}{ \cos ^ 2x}- \tg ^ 2x \\
e) \ \left( \frac{1}{ \cos x }- \cos x \right) \left( \frac{1}{ \sin x }- \sin x \right) \left( \tg x + \ctg x )}\)


2. Sprawdź, czy równość jest tożsamością trygonometryczną:

\(\displaystyle{ a)\ \tg \alpha +\frac{ \cos \alpha}{1+ \sin{\alpha} }=\frac{1}{ \cos \alpha} \\
b)\ \frac{ \cos \alpha}{1+ \sin \alpha}+ \frac{1+ \sin \alpha}{ \cos \alpha}=\frac{2}{ \cos \alpha} \\
c)\ \cos ^ 4\alpha + \sin ^ 2\alpha \cdot \cos ^ 2\alpha + \sin ^ 4\alpha = 1}\)


Z góry dziękuję i moimi priorytetami są zadania 1d, 1e oraz 2b
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2011, o 18:30 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-u - punkt 2.7 instrukcji LaTeX-u.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

uprość wyrażenie i sprawdź tożsamość

Post autor: piasek101 »

2b) Zacznij od lewej - dodaj te ułamki; pokaż co dostaniesz (może sam zobaczysz co dalej).
Master302
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 7 gru 2010, o 18:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MŁPK
Podziękował: 29 razy

uprość wyrażenie i sprawdź tożsamość

Post autor: Master302 »

otrzymałem:

\(\displaystyle{ \frac{\cos^2\alpha+1+\sin\alpha+\sin\alpha+\sin^2\alpha}{\cos\alpha(1+\sin\alpha)}}\)czyli po skróceniu \(\displaystyle{ \frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}}\) ??
Awatar użytkownika
Erurikku
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 261
Rejestracja: 1 lip 2011, o 20:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 46 razy

uprość wyrażenie i sprawdź tożsamość

Post autor: Erurikku »

2c)
\(\displaystyle{ \cos ^ 4\alpha + \sin ^ 2\alpha \cdot \cos ^ 2\alpha + \sin ^ 4\alpha = 1 \\
L = (\sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha)^{2} - \sin^{2}\alpha \cdot \cos^{2}\alpha = 1 - \sin^{2}\alpha \cdot \cos^{2}\alpha}\)
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2011, o 18:48 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

uprość wyrażenie i sprawdź tożsamość

Post autor: piasek101 »

Master302 pisze:otrzymałem:

\(\displaystyle{ \frac{\cos^2\alpha+1+\sin\alpha+\sin\alpha+\sin^2\alpha}{\cos\alpha(1+\sin\alpha)}}\)czyli po skróceniu \(\displaystyle{ \frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}}\) ??
Po skróceniu powinieneś mieć prawą.
Awatar użytkownika
Erurikku
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 261
Rejestracja: 1 lip 2011, o 20:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 46 razy

uprość wyrażenie i sprawdź tożsamość

Post autor: Erurikku »

1d, na którym ci zależy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \cos ^ {2}x} - \tg ^{2} x = \frac{1}{ \cos ^ 2x} - \frac{\sin^{2}x}{\cos ^{2}x}= \frac{1-\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}= \frac{\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x} =1}\)
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2011, o 19:47 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a
Master302
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 7 gru 2010, o 18:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MŁPK
Podziękował: 29 razy

uprość wyrażenie i sprawdź tożsamość

Post autor: Master302 »

może jakaś podpowiedź do 2b ? bo juz mi sie koncepcje skończyły

btw. takie rozwiązanie 2c jest błędne ?:

\(\displaystyle{ \left(\cos^2\alpha \cdot \cos^2\alpha\right)+\sin^2\alpha \cdot \cos^2\alpha + \left(\sin^2\alpha \cdot \sin^2\alpha\right)=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1}\)
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2011, o 19:47 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Erurikku
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 261
Rejestracja: 1 lip 2011, o 20:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 46 razy

uprość wyrażenie i sprawdź tożsamość

Post autor: Erurikku »

2b) Doszedłeś do postaci.
\(\displaystyle{ \frac{\cos^2\alpha+1+\sin\alpha+\sin\alpha+\sin^2\alpha}{\cos\alpha(1+\sin\alpha)}}\)

Teraz zauważ, że \(\displaystyle{ \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha =1}\) (tzw. jedynka trygonometryczna)

Mamy więc:
\(\displaystyle{ \frac{2\sin\alpha + 2}{\cos \alpha (1+\sin \alpha)}}\) Wystarczy w liczniku wyciągnąć dwójkę przed nawias i \(\displaystyle{ 1+ \sin \alpha}\) ładnie się skraca.

Co do btw. Takie rozwiązanie jest błędem. Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \sin^{4}\alpha +2 \cdot \sin^{2}\alpha \cdot \cos^{2} \alpha + \cos^{4}\alpha = (\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha)^{2}}\)
Master302
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 7 gru 2010, o 18:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MŁPK
Podziękował: 29 razy

uprość wyrażenie i sprawdź tożsamość

Post autor: Master302 »

moznaby prosić jeszcze o przyklady 1b oraz 1e ?
Awatar użytkownika
Erurikku
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 261
Rejestracja: 1 lip 2011, o 20:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 46 razy

uprość wyrażenie i sprawdź tożsamość

Post autor: Erurikku »

\(\displaystyle{ \left( \cos \alpha \cdot \tg \alpha +\sin \alpha \cdot \ctg \alpha \right) ^2 = \left (\sin \alpha + \cos \alpha \right) ^{2}}\)

1e zrób sam - wymnóż nawiasy i pamiętaj czemu równy jest tangens i cotangens.
Master302
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 7 gru 2010, o 18:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MŁPK
Podziękował: 29 razy

uprość wyrażenie i sprawdź tożsamość

Post autor: Master302 »

mnożę, mnożę i nic nie wychodzi. Mogłby ktos podac rozwiazanie ? bo juz naprawde nie mam siły...
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

uprość wyrażenie i sprawdź tożsamość

Post autor: anna_ »

podpowiedź:

e) \(\displaystyle{ \ \left( \frac{1}{ \cos x }- \cos x \right) \left( \frac{1}{ \sin x }- \sin x \right) \left( \tg x + \ctg x )=\ \left( \frac{1-\cos^2 x}{ \cos x }\right) \left( \frac{1-\sin^2 x}{ \sin x } \right) \left( \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} )= \\}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin^2 x}{\cos x} \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos x \sin x} =...}\)
ODPOWIEDZ