Matematyka.pl

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin x + \cos x = 0}\) dla \(\displaystyle{ x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in C}\).

Moje rozwiązanie:
Obustronnie dzielimy przez \(\displaystyle{ \cos x}\) i mamy:
\(\displaystyle{ \tg x +1=0}\)
Czy takie dzielenie jest prawidłowe?

Jeżeli mielibyśmy rozpatrywać to w \(\displaystyle{ R}\), to wtedy bym nie mógł podzielić przez \(\displaystyle{ \cos x}\), jednak jak podzielimy przez \(\displaystyle{ \sin x}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ \ctg x +1=0}\)
Czy rozwiązując powyższą równość będzie ona równoważna z wyjściową?

Jak jeszcze można rozwiązać powyższe równości?

Dzieląc przez cosinusa zakładasz że \(\displaystyle{ \cos x \neq 0}\). Potem musisz sprawdzić co dzieje się gdy ta równość zachodzi.

Łatwiejsza metoda: stworzyć układ równań razem ze wzorem na jedynkę trygonometryczną - a potem go rozwiązać.
\(\displaystyle{ \sin^{2}x + \cos^{2} x = 1}\)

Jeżeli mielibyśmy rozpatrywać to w \(\displaystyle{ R}\), to wtedy bym nie mógł podzielić przez \(\displaystyle{ \cos x}\),

Prawda.
Jeżeli chcesz dzielić przez sinus to też musi być on różny od zera tzn. \(\displaystyle{ x \neq k \pi}\)

Mógłby podzielić, tylko musiałby sprawdzić, czy przypadkiem równanie nie jest spełnione dla iksów, które wyklucza z dziedziny, dzieląc.

Teraz zauważyłem jeszcze inne proste rozwiązanie. Po co dzielić, lepiej zrobić tak

Można też skorzystać ze wzoru:
\(\displaystyle{ \sin{x}+\cos{x}= \sqrt{2}\sin{ \left( x+ \frac{\pi}{4} \right) }}\)

ares41, dobra twój pomysł bije wszystko na głowę. Wygrałeś bitwę na najsprytniejsze rozwiązanie. Pozdrawiam