Wykaż, że dla każdej liczby z dziedziny zachodzi nierówność

[kamil13151]

Funkcje \(\displaystyle{ f(x)= \frac{\sin x + \tg x}{\cos x}}\) i \(\displaystyle{ g(x)= \frac{\sin x}{\sin x +1}}\) określone są w zbiorze \(\displaystyle{ D=\left\{ x \in R: x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, \text{gdzie} \ k \in C \right\}}\). Wykaż, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ a \in D}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ f(a) \cdot g(a) \ge 0}\).

Zrobiłem to, ale mój sposób nie jest za ciekawy, szukam innych

Jak to zrobiłem:    

Doszedłem do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{\sin^2 a(\cos a +1)}{\cos^2 a(\sin a +1)} \ge 0 \\ tg^2 a(\cos a +1)(\sin a +1) \ge0}\)
i jest to iloczyn trzech liczb nieujemnych, także nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby \(\displaystyle{ a \in D}\).

[tometomek91]

Chyba zrobiłeś najlepszym możliwym sposobem, inny:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{\sin x + \tg x}{\cos x}=\sin x \cdot \frac{\cos x+1}{\cos^2 x}}\) ale \(\displaystyle{ \frac{\cos x+1}{\cos^2 x} \ge 0}\) więc znak f zależy od znaku sinusa, wystarczy zauważyć, że tak samo jest z g. Zatem mnozymy przez siebie dwie liczby jednoczesnie nieujemne, lub jednocześnie niedodatnie.