Nierówność trygonometryczna

[kamil13151]

Wydaje mi się, że doszedłem do ciekawej nierówności trygonometrycznej. Jestem ciekaw czy to rozwiążecie.

\(\displaystyle{ \sin^2 x \ge -\frac{ \sqrt{3}-2 }{4}}\)

[ares41]

Ukryta treść:    

Po spierwiastkowaniu stronami mamy:
\(\displaystyle{ |\sin x| \ge \frac{ \sqrt{2- \sqrt{3} } }{2}= \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}}\)
Wyrażenie z prawej strony to \(\displaystyle{ \sin{ \frac{\pi}{12} }}\), zatem nasza nierówność sprowadza się do \(\displaystyle{ |\sin x| \ge \sin{ \frac{\pi}{12} }}\)

[kamil13151]

@ares41:    

Jak wpadłeś na to, że: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}=\sin{ \frac{\pi}{12} }}\) ?

Inne rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ \sin^2 x \ge -\frac{ \sqrt{3}-2 }{4}\\ -2\sin^2 x \le \frac{ \sqrt{3} }{2}-1 \\ -\sin^2 x -\sin^2 x +1 \le \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \cos^2 x - \sin^2 x \le \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \cos 2x \le \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
Dalej to już wiadomo .

[ares41]

Ukryta treść:    

@ares41:
Jak wpadłeś na to, że: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}=\sin{ \frac{\pi}{12} }}\) ?

To dosyć znana wartość. Ostatnio robiłem sporo zadań związanych z liczbami zespolonymi i ta wartość się tam ciągle przewijała i jakoś się to zapamiętało .

[tatteredspire]

@ares41:    

Jak wpadłeś na to, że: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}=\sin{ \frac{\pi}{12} }}\) ?

Inne rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ \sin^2 x \ge -\frac{ \sqrt{3}-2 }{4}\\ -2\sin^2 x \le \frac{ \sqrt{3} }{2}-1 \\ -\sin^2 x -\sin^2 x +1 \le \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \cos^2 x - \sin^2 x \le \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \cos 2x \le \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
Dalej to już wiadomo .

Bardzo łatwo znaleźć wartości tangensa, cotangesa, sinusa, cosinusa dla argumentów postaci \(\displaystyle{ k \frac{\pi}{60}}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\), o ile te funkcje są określone dla takich argumentów.