tożsamość trygonometryczna

[oksito123]

witam,
mam problem z tożsamością trygonometryczną
zadanie brzmi tak:
Sprawdź tożsamość:

\(\displaystyle{ \frac{ \ctg x - \tg x }{ \sin x + \cos x }= \frac{1}{ \sin x } - \frac{1}{ \cos x }}\)

robiłem to do momentu, gdy podstawiłem za \(\displaystyle{ \ctg \text{ i } \tg: \frac{\cos}{\sin} \text{ i }\frac{\sin}{\cos}}\) i potem się zgubiłem... tożsamość mi nie wyszła

[aalmond]

pomnóż licznik i mianownik przez: \(\displaystyle{ \cos x - \sin x}\)

[kamil13151]

Rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ \ctg x - \tg x = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{-\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x}=\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\sin x \cos x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \ctg x - \tg x }{ \sin x + \cos x }=\frac{ \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\sin x \cos x} }{ \sin x + \cos x }= \frac{\cos x - \sin x}{\sin x \cos x}= \frac{1}{ \sin x } - \frac{1}{ \cos x }}\)