Jak zrozumieć wzory redukcyjne

[moriquendi]

Mam takie pytanie odnośnie wzorów redukcyjnych.

Mamy powiedzmy przykład:

\(\displaystyle{ \sin(180^{\circ} - 20^{\circ})}\)

Ponieważ kąt (180-20) leży w drugiej ćwiartce, to sinus jest dodatni.
Rozpisujemy więc to tak:
\(\displaystyle{ \sin(180^{\circ} - 20^{\circ}) = \sin 160^{\circ}}\)

Sprawa jasna.
Ale czytałem sobie przykłady na Wikipedii i widzę, że moim rozumowaniem nie zawsze wynik będzie wychodził dobry.

Przykład:
\(\displaystyle{ \sin(2 \cdot 180^{\circ} + 315^{\circ})}\)

Kąt \(\displaystyle{ 2 \cdot 180+315}\) leży w IV ćwiartce więc sinus jest tam ujemny.
Rozpisywałem więc to zawsze na:
\(\displaystyle{ = -\sin 315^{\circ}}\)

Ale wg. Wikipedii nie powinno być tego minusa.

Więc jak to w takim razie zrozumieć bez kucia na pamięć?

[miki999]

\(\displaystyle{ 2 \cdot 180 ^\circ =360 ^\circ}\), a to jest przecież okres sinusa.

Bez wkuwania, to możesz sobie narysować sinusa i na podstawie wykresu wnioskować.

[moriquendi]

No wiem, ale nie będę za każdym razem wykresu rysował.Po to mam te wzory przecież...

Ja myślałem że przy określaniu znaku patrzy się w której ćwiartce jest dany kąt, ale to widocznie się sprawdza tylko wtedy gdy kąt jest ostry.
\(\displaystyle{ \sin(180 + \alpha) , \ \ \alpha \in \langle 0, 90\rangle}\)


Gdy \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem rozwartym to ta zasada już się nie sprawdza.

Gdy mam więc powiedzmy kąt:
\(\displaystyle{ 360 + 315}\)
to patrzę się nie na IV ćwiartkę, ale na I?

[aalmond]

Rozpisywałem więc to zawsze na:
\(\displaystyle{ = -\sin 315^{\circ}}\)

No to źle sobie rozpisywałeś. Ten minus wyjdzie Ci z tego:

\(\displaystyle{ \sin(2 \cdot 180^{\circ} + 315^{\circ})=\sin 315^{\circ}= \sin (360^{\circ} - 45^{\circ}) = - \sin 45^{\circ}}\)

[miki999]

Dodatkowo, o ile dobrze pamiętam, tabelka ze wzorami redukcyjnymi znajduje się w kartach wzorów maturalnych, więc nie ma sensu się ich uczyć.

[aalmond]

Zawsze możesz sobie rozpisać to w taki sposób:

\(\displaystyle{ \sin \beta = \sin (k \cdot 90^{\circ}+ \alpha )}\), gdzie \(\displaystyle{ k = \left\{ 0, \ 1, \ 2, ...\right\}}\), \(\displaystyle{ \alpha \in \left\langle 0, 90^{\circ})}\)

W zależności od \(\displaystyle{ k}\), ustala się znak i to, czy funkcja przechodzi w swoją kofunkcję

[piti-n]

\(\displaystyle{ \sin(200^{\circ})= \sin(180^{\circ} + 20^{\circ}) = \sin 160^{\circ}}\)
Nie prawda a więc nie taka łatwa sprawa
\(\displaystyle{ \sin(200^{\circ})= \sin(180^{\circ} + 20^{\circ}) =- \sin 20^{\circ}}\)

[zidan3]

Dodatkowo, o ile dobrze pamiętam, tabelka ze wzorami redukcyjnymi znajduje się w kartach wzorów maturalnych, więc nie ma sensu się ich uczyć.

Kiedys była, teraz wzory redukcyjne nie sa wymagane nawet na rozszerzeniu dddddddddd
Wiec teraz w karcie wzorow jest tylko tabelka z wartosciami kątow \(\displaystyle{ 30, 45, 60, 90}\)

[piasek101]

Ej, chyba są.
Bo jest tam (w wymaganiach na maturę) ,,wyznacza wartości funkcji tryg. dowolnego kąta przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego".