"Mniej znane" wartości f. trygonometrycznych - obliczanie

[tatteredspire]

Czy da się zapisać (zapis skończony) \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{180} \right)}\) wyłącznie (nie wszystko musi być użyte, ale nie może być użyte nic ponad to) za pomocą liczb naturalnych z użyciem symboli \(\displaystyle{ (\sqrt[r] ,+,-, \cdot ,/)}\) (działania: potęgowania, dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia)

Ja doszedłem jedynie do tego, że:

\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{60} \right) =\frac{ \sqrt{8- \sqrt{15}- \sqrt{3}- \sqrt{10-2 \sqrt{5}}}}{4}}\)

Dalej próbowałem wyznaczyć pierwiastki wielomianu, gdzie \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{180} \right) =x}\):

\(\displaystyle{ -4x^3+3x-\frac{ \sqrt{8- \sqrt{15}- \sqrt{3}- \sqrt{10-2 \sqrt{5}}}}{4}=0}\)

Tutaj pojawił się problem, bo ten wielomian ma 3 pierwiastki rzeczywiste i żadnego z nich nie da się (bezpośrednio ze wzorów na pierwiastki) zapisać bez użycia symbolu funkcji trygonometrycznej (wartość funkcji dla tego argumentu nie jest powszechnie znana). Stąd wątpię czy istnieje skończony zapis \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{180} \right)}\), ale to nie stanowi dowodu.

Czy może ktoś odpowiedzieć na moje pytanie zadane na wstępie?

[luka52]

Według , tak - da się.

[tatteredspire]

Według , tak - da się.

Nie znałem tego, dziękuję. Jeśli można, to mam jedno pytanie, bo u mnie słabo z angielskim bądź po prostu tego nie zauważyłem. Po wejściu w ten link, w miejscu gdzie pojawia się dokładna wartość (fioletowe tło), jest taki symbol pisany jakby kursywą. Czy możesz mi powiedzieć, co on oznacza?

[luka52]

To jest wielkie "i" - I, jednostka urojona.

[tatteredspire]

To jest wielkie "i" - I, jednostka urojona.

To nie bardzo rozumiem - \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{180} \right) \in \mathbb{R}}\) więc czemu nie pozbyli się jednostki urojonej "i"? Niby co prawda można napisać w postaci \(\displaystyle{ a+0i}\), ale chyba prościej po prostu \(\displaystyle{ a}\). Trochę mnie to dziwi. W każdym razie jeszcze raz dziękuję za okazaną mi pomoc.

-- 16 sie 2011, o 17:46 --

Swoją drogą ciekawe czy da się to (w praktyce) zapisać w postaci rzeczywistej, a nie w zespolonej, bo o to mi w gruncie rzeczy chodziło, co napisałem w pierwszej wiadomości otwierającej ten wątek (tylko za pomocą liczb naturalnych i operacji arytmetycznych).