Znajdź okres funkcji

[Jerzy_q]

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\cos (\cos x)}\) ma okres:
(A) \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)
(B) \(\displaystyle{ \pi}\)
(C) \(\displaystyle{ 2\pi}\)
(D) jest nieokresowa

Można szybko znaleźć odpowiedź "na chama", ale mnie interesuje jak wyglądałby formalny dowód.

[Chromosom]

rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \cos(\cos x)=\cos\bigl(\cos(x+\omega)\bigr)}\) gdzie \(\displaystyle{ \omega}\) jest okresem

[tatteredspire]

rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \cos(\cos x)=\cos(\cos x+\omega)}\) gdzie \(\displaystyle{ \omega}\) jest okresem

A nie powinno być \(\displaystyle{ \cos(\cos x)=\cos(\cos (x+\omega))}\) gdzie \(\displaystyle{ \omega}\) jest okresem?

[Chromosom]

tatteredspire, tak, Twoja odpowiedź jest poprawna

[tatteredspire]

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\cos (\cos x)}\) ma okres:
(A) \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)
(B) \(\displaystyle{ \pi}\)
(C) \(\displaystyle{ 2\pi}\)
(D) jest nieokresowa

Można szybko znaleźć odpowiedź "na chama", ale mnie interesuje jak wyglądałby formalny dowód.

Niech \(\displaystyle{ T}\)-okres i \(\displaystyle{ D_f}\) - dziedzina Twojej funkcji

Należy oprzeć się na definicji okresowości funkcji i jej negacji:

f jest okresowa \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( \exists T \neq 0 \right) \left( \forall x \in D_f \right) \left( \left( x+T \right) \in D_f \wedge f \left( x+T \right) =f \left( x \right) \right)}\).

Bądź pokazać z definicji (w zależności od tego czy Twoja funkcja jest okresowa czy nie):

f nie jest okresowa \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( \forall T \neq 0 \right) \left( \exists x \in D_f \right) \left( \neg \left( \left( x+T \right) \in D_f \right) \vee f \left( x+T \right) \neq f \left( x \right) \right)}\)



Oczywiste jest w tej Twojej funkcji, że \(\displaystyle{ \left( \forall x \in D_f \right) \left( \forall T \in \mathbb{R} \right) \left( \left( x \in D_f \right) \Rightarrow \left( x+T \right) \in D_f \right)}\)

Tak więc pozostaje jedynie sprawdzić drugi warunek definicji (czy zachodzi równość):

Ad (A)

\(\displaystyle{ T=\frac{ \pi }{2}}\)

niech wtedy \(\displaystyle{ x=\frac{ \pi }{2}}\)

Masz \(\displaystyle{ f \left( \frac{ \pi }{2} \right) =\cos \left( \cos\frac{ \pi }{2} \right) =1}\)
oraz
\(\displaystyle{ f \left( \frac{ \pi }{2}+\frac{ \pi }{2} \right) =\ \cos \left( \ \cos \left( \frac{ \pi }{2}+\frac{ \pi }{2} \right) \right) \neq 1}\) , bo \(\displaystyle{ \left( \forall k \in \mathbb{Z} \right) \left( \ \cos \left( \left( \pi +2k \pi \right) =\ \cos \left( - \pi +2k \pi \right) \right) \neq \left( \ \cos \left( \frac{ \pi }{2}+2k \pi \right) = \ \cos \left( -\frac{ \pi }{2}+2k \pi \right) \right) \right)}\) na podstawie własności funkcji \(\displaystyle{ g(x)=\cos x}\)
A stąd bezpośrednio wynika, że: \(\displaystyle{ \left( \cos \left( \cos \left( \pi +2k \pi \right) =\cos \left( \cos \left( - \pi +2k \pi \right) \right) \right) \neq \left( \cos \left( \cos \left( \frac{ \pi }{2}+2k \pi \right) \right) =\cos \left( \cos \left( \frac{- \pi }{2}+2k \pi \right) \right) =1 \right)}\)

To właśnie uzasadnia, że \(\displaystyle{ \cos \left( \cos \left( \frac{ \pi }{2}+\frac{ \pi }{2} \right) \right) \neq 1}\)



Zatem \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) nie jest okresem Twojej funkcji.

Ad (B)

\(\displaystyle{ T= \pi}\) i niech \(\displaystyle{ x \in D_f}\)

Trzeba sprawdzić czy zachodzi: \(\displaystyle{ f(x)=f(x+T)}\)

\(\displaystyle{ f \left( x+T \right) =\cos \left( \cos \left( x+\pi \right) \right) =\cos \left( \cos x\cos\pi-\sin x\sin\pi \right) =\cos \left( -\cos x \right) =\cos \left( \cos x \right) =f \left( x \right)}\) (na podstawie parzystości funkci cosinus i wzorów trygonometrycznych)

Zatem \(\displaystyle{ \pi}\) jest okresem Twojej funkcji

Ad (C)

Prawdziwe jest oczywiste zdanie (można też wykazać analogicznie jak wyżej): Jeśli \(\displaystyle{ T}\) jest okresem funkcji \(\displaystyle{ f}\), to każda liczba postaci \(\displaystyle{ k \cdot T}\), \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} \setminus \left\{0} \right\}}\) jest okresem tej funkcji.

Ad (D)

Funkcja jest okresowa więc nie jest nieokresowa.-- 17 sie 2011, o 12:54 --PS: Nie podałeś dziedziny tej funkcji więc przyjąłem, że jest nią \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).