"Ułamkowe" tożsamości trygonometryczne

[tatteredspire]

Czy zna ktoś wzory na wyrażenie \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{3}x}\) od \(\displaystyle{ \sin x}\)? Konkretnie to chodzi mi o wzór, gdzie po jednej stronie będzie tylko \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{3}x}\) a po drugiej tylko \(\displaystyle{ \sin x}\) (i ew. operacje arytmetyczne lub liczby rzeczywiste). Coś tego typu jak "kąty połówkowe".

[szw1710]

Stosując liczby zespolone

\(\displaystyle{ \left(\cos\frac{1}{3}x+i\sin\frac{1}{3}x\right)^3=\cos x+i\sin x}\)

otrzymamy układ równań na szukane wielkości w zależności od \(\displaystyle{ \sin x,\;\cos x.}\)

[Marcinek665]

Zauważmy, że:

\(\displaystyle{ \sin x = \sin \left(\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{x}{3}\right)}\)

A to już możemy śmiało rozwijać za pomocą wzoru na \(\displaystyle{ \sin 3x}\)

[tatteredspire]

Stosując liczby zespolone

\(\displaystyle{ \left(\cos\frac{1}{3}x+i\sin\frac{1}{3}x\right)^3=\cos x+i\sin x}\)

otrzymamy układ równań na szukane wielkości w zależności od \(\displaystyle{ \sin x,\;\cos x.}\)

Źle się wyraziłem lub nie potrafię wykorzystać tej zależności - przekształcając ten wzór doszedłem do postaci \(\displaystyle{ \sin x=-4 \cdot \left( \sin \frac{1}{3}x \right) ^3 + 3 \cdot \sin\frac{1}{3}x}\). A ja potrzebuję postać tego typu \(\displaystyle{ \sin\frac{1}{3}x=4 \cdot (\sin x)^2 - 3 \cdot \sin x}\) (nie musi to być prawdą, teraz tylko ilustruję to, o co mi chodzi) , czyli po jednej stronie (np. lewej) ma być tylko \(\displaystyle{ \sin\frac{1}{3}x}\). Czy da się tak to przekształcić?

[Marcinek665]

Takie coś Cię nie satysfakcjonuje?

\(\displaystyle{ \sin x = -4 \sin^3 \frac{x}{3} + 3 \sin \frac{x}{3}}\)

Masz po lewej tylko \(\displaystyle{ \sin x}\), a po prawej działania na \(\displaystyle{ \sin \frac{x}{3}}\)

[tatteredspire]

Takie coś Cię nie satysfakcjonuje?

\(\displaystyle{ \sin x = -4 \sin^3 \frac{x}{3} + 3 \sin \frac{x}{3}}\)

Masz po lewej tylko \(\displaystyle{ \sin x}\), a po prawej działania na \(\displaystyle{ \sin \frac{x}{3}}\)

Tak, ale żeby wyliczyć \(\displaystyle{ \sin\frac{x}{3}}\) mając dane \(\displaystyle{ \sin x}\) trzeba rozwiązać równanie trzeciego stopnia, a i tak nie zawsze da się to (bez znajomości odpowiednich wzorów) ująć liczbowo. Stąd jestem ciekaw czy istnieje jakiś wzór "odwrotny" do tego, czyli po jednej stronie ma być tylko \(\displaystyle{ \sin \frac{x}{3}}\), a po drugiej "cała reszta" (\(\displaystyle{ \sin x}\), liczby, operacje arytmetyczne).