superpozycja nieskończonej ilości sinusów

[Arch_Stanton]

Złożenie nieskończoności sinusów jest (chyba) zbieżne do funkcji stałej \(\displaystyle{ f(x)=0}\). Uzasadnij.

\(\displaystyle{ \sin(\sin(\sin\ldots(\sin x))\ldots))) = \sin(x) \circ \sin(x) \circ \sin(x) \circ \ldots = 0}\)

[ares41]

\(\displaystyle{ -1 \le \sin x \le 1}\)
Więc dziedzina funkcji \(\displaystyle{ \sin{ (\sin x)}}\) jest zawężona do\(\displaystyle{ \langle -1;1 \rangle}\), a tym samym jej zbiór wartości do\(\displaystyle{ \langle \sin(-1) ; \sin 1 \rangle}\).
Przy coraz większej liczbie złożeń, argumenty znajdują się coraz bliżej zera, a
\(\displaystyle{ \lim_{ t\to 0 }\sin{t} =0}\)

[Lorek]

Tw. Banacha o kontrakcji + 0 jest punktem stałym sinusa.

Edit: no chyba tak łatwo nie pójdzie, bo sinus nie jest kontrakcją. Można "tradycyjnie" (zdefiniować rekurencyjnie + ciąg monotoniczny i ograniczony).

[Adifek]

Edit: ajjj, prosty błąd w rachunkach zrobiłem i głupotę napisałem...