Matematyka.pl

Proszę o zrozumienie, skończyłam dopiero gimnazjum i na własną rękę próbuje zrozumieć niektóre aspekty matematyki. Zajmuję się programowaniem i chciałabym zrozumieć na czym polega funkcja atan2() w c++.


Otóż chciałabym obliczyć RĘCZNIE kąt zawarty pomiędzy osią x a prostą wyprowadzoną z początku układy współrzędnych aż do danych współrzędnych (x, y)

powiedzmy że:
x=30
y=40


Otóż dowiedziałam się (sądzę że słusznie) że należy obliczyć arcus tangens z wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{y}{x}}\). Czyli arctg(1,(3)), rozumiem, iż ten wynik będzie wyrażony w radianach?
Aby zamienić go na stopnie wystarczy pomnożyć przez \(\displaystyle{ \frac{180}{ \pi } \approx 57,29577..}\). Wszystko pięknie, jeśli dobrze rozumiem.. tylko jest mały problem:

- Jak obliczyć arcus tangens? Wiem, że to jest przeciwieństwo tangesa, jednak prostym sposobem proszę wytłumaczenia jak w tym przypadku obliczyć: arctg(1,(3))

- Czy na kalkulatorze obliczaniu arcusa tanges odpowiada " \(\displaystyle{ tan^{-1}}\) ?
Wynik wyszedł tam 53,1301.. czyli prawidłowy i to w dodatku w stopniach, czyli już po zamianie z radianów na stopnie?

Dodatkowe pytanie: tak właściwie to na jakich zasadach wyliczana jest ta "tablica wartości funkcji trygonometrycznych"?

Funkcję arcus tangens oblicza się przy pomocy odpowiednich szeregów, dających dowolną żądaną dokładność.
Tak, na kalkulatorze jest to oznaczone przez \(\displaystyle{ \tan^{-1}}\). Trzeba jedynie uważać w jakich jednostkach kalkulator zwraca.

Rozumiem, można prosić o wytłumaczenie jak to "ręcznie" obliczyć, bądź jak to nawet kalkulator wylicza? Mam nadzieję, że jest to wykonalne

Mhm - szukaj (choćby na Wikipedii) pod hasłem "szereg Taylora".

Niestety z tego co na wikipedi piszą trudno się połapać, owszem, dużo szukałam.
Można liczyć na wstawienie kodu, czyli w praktyce pokazanie tego konkretnego przykładu wyliczającego arctg(1,(3)) ?

Wikipedia nam ładnie podaje wzór:
\(\displaystyle{ \arc \tg x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} x^{2n+1}, \ |x|<1}\)
Widzimy więc, że nie da się od razu podstawić \(\displaystyle{ x = \frac{4}{3}}\).
Przyjmijmy więc, że kąt dla którego jest taki tangens, to kąt \(\displaystyle{ \alpha \in (45^{o}, 90^{o})}\).
Wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{4}{3} = \tg \alpha = \ctg (90^{o} - \alpha) = \frac{1}{\tg(90^{o} - \alpha)} \\ \tg(90^{o} - \alpha) = \frac{3}{4}}\)
Widzimy więc, że wstawiając do wzoru na arcus tangens \(\displaystyle{ x = \frac{3}{4}}\) otrzymamy kąt \(\displaystyle{ 90^{o} - \alpha}\), więc wystarczy tylko sobie odjąć z powrotem, by mieć upragnioną alfę.

dzięki wielkie za wyjaśnienie, postaram już się doczytać i wykonać to do końca