Parametr w równaniu trygonometrycznym

[testsnifera]

Zbadaj, dla jakich wartości parametru a istnieje rozwiązanie równania:

\(\displaystyle{ \cos x+ \cos \left( x- \frac{2 \pi }{3} \right) = a^{2}-1}\)

Prosiłabym o pomoc w rozgryzieniu zadanka..

[Althorion]

Podpowiedź:
\(\displaystyle{ \cos x + \cos \left(x - \frac{2\pi}3\right) = \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right)}\)

[testsnifera]

Z jakiego wzoru korzystałeś otrzymując takie wyrażenie? Ale rozumując dalej Twoim tokiem otrzymuję równanie

\(\displaystyle{ \sin \left( x+ \frac{ \pi }{6} \right) = a^{2}-1}\)
gdzie \(\displaystyle{ \sin \left( x+ \frac{ \pi }{6} \right) \in \langle -1;1 \rangle}\)

zatem \(\displaystyle{ a^{2}-1 \ge -1 \wedge a^{2}-1 \le 1}\)
gdzie po rozwiązaniu i usataleniu iloczynu rozwiązań wychodzi mi przedział \(\displaystyle{ \langle 0; \sqrt{2} \rangle}\)
ale niestety w odp jest to przedział \(\displaystyle{ \langle - \sqrt{2}; \sqrt{2} \rangle}\)

Zatem, gdzie popełniam błąd? Czy w ogóle słusznie rozumuje?

[Althorion]

Z jakiego wzoru korzystałeś otrzymując takie wyrażenie?

\(\displaystyle{ \cos (x) + \cos (y) = 2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)}\)
i wzory redukcyjne. Można było zostawić kosinus, wszystko jedno zresztą.

Układ nierówności masz dobrze, ale źle go rozwiązałeś:
\(\displaystyle{ -1 \le a^2 - 1 \le 1 \\ 0 \le a^2 \le 2 \\ a \in \left[ -\sqrt{2}; \sqrt{2}\right]}\)

[testsnifera]

Ok, ale prosiłabym jeszcze o dokładne rozpisanie jak z tego wyrażenia z cosinusami co było na początku przeszedleś do \(\displaystyle{ \sin \left( x+ \frac{ \pi }{6} \right)}\) bo za skarby nie umiem do tego sprowadzić

[Althorion]

\(\displaystyle{ \cos x+ \cos \left( x- \frac{2 \pi }{3} \right) = 2\cos\left(\frac{x+x-\frac{2\pi}{3}}{2}\right)\cos\left(\frac{x-x+\frac{2\pi}{3}}{2}\right) = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\cdot \frac{1}{2} = \cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(x + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\)