Układ dwóch równań trygonometrycznych.

[kazmirz]

Witam, mam problem, z takim układem równań:
\(\displaystyle{ cos(x+ \frac{1}{2} y) \cdot cos( \frac{1}{2} y)=0}\)
\(\displaystyle{ cos( \frac{1}{2} x +y) \cdot cos( \frac{1}{2} x)=0}\)

Układ może i prosty, ale moje rozwiązania nie pokrywają się z odpowiedzią, pewnie trzeba zastosować jakąś sztuczkę, o której nie wiem.

[Afish]

Wzór na iloczyn kosinusów powinien wystarczyć. Pokaż obliczenia najlepiej.

[Inkwizytor]

Pytanie pomocnicze: Kiedy iloczyn wyrażeń wynosi ZERO?

[kazmirz]

Iloczyn jest zero kiedy jeden ze składników jest zero, ale tym sposobem nie wychodzi, albo ja coś źle liczę bo wyszło \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{2}}\) oraz \(\displaystyle{ y= \pi}\).
Iloczyn cosinusów nic nie dał, wyszło 0=0.

[Inkwizytor]

Oczywiście wskazówka Afisha jest pomocna ale moim sposobem da_się tylko trzeba bardzo mocno sie zastanowić nad ułożeniem przypadków. Będą 4 przypadki

Moje końcowe rozwiązanie jest następujące:

\(\displaystyle{ y=x= \frac{(2k+1) \pi}{3} \vee y=-x=(2k+1) \pi}\) , dla k całkowitego

Czy taka jest odpowiedź?

[kazmirz]

Dokładnie, taka jest odpowiedź. Mógłbyś napisać więcej o tym przykładzie?

[Inkwizytor]

\(\displaystyle{ cos(x+ \frac{1}{2} y) \cdot cos( \frac{1}{2} y)=0}\)
\(\displaystyle{ cos( \frac{1}{2} x +y) \cdot cos( \frac{1}{2} x)=0}\)

Ja robiłem tak choć zdaję sobie sprawę że to nie koniecznie najkrótsza metoda ale jest najmojsza
Powyzsze zadania ma układ 2 równań z dwiema niewiadomymi czyli musi zachodzić jednoczesność \(\displaystyle{ ( \wedge )}\) obu równań

Równanie pierwsze
\(\displaystyle{ cos(x+ \frac{1}{2} y) \cdot cos( \frac{1}{2} y)=0}\)
stąd
\(\displaystyle{ cos(x+ \frac{1}{2} y)=0 \vee cos( \frac{1}{2} y)=0}\)
Wypisujesz rozwiązanie dla pierwszego i dla drugiego czynnika

Równanie drugie
\(\displaystyle{ cos( \frac{1}{2} x +y) \cdot cos( \frac{1}{2} x)=0}\)
stąd
\(\displaystyle{ cos( \frac{1}{2} x +y)=0 \vee cos( \frac{1}{2} x)=0}\)
Wypisujesz rozwiązanie dla pierwszego i dla drugiego czynnika


Teraz trzeba "pożenić" rozwiązania z pierwszego równania \(\displaystyle{ (... \vee ...)}\) z analogicznymi rozwiązaniami z drugiego równania za pomocą \(\displaystyle{ ( \wedge )}\)

Tabelka 2x2 bedzie wysoce pomocna i czytelna. Wystarczy potem poredukować przypadki nakładające się

[kazmirz]

Wyszły mi dwa zestawy: \(\displaystyle{ x=0}\) \(\displaystyle{ y= \pi}\) oraz \(\displaystyle{ x=2 \pi}\) \(\displaystyle{ y=0}\)
Wciąż nie wiem skąd te \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\)

[Inkwizytor]

A dlaczego ograniczasz sie do przedziału \(\displaystyle{ <0,2 \pi>}\)?
Czy rozpatrzyłes wszystkie przypadki?

[kazmirz]

A będą jeszcze jakieś inne warianty? Od \(\displaystyle{ \left[ -2 \pi ,2 \pi \right]}\) jest to samo. No jest jeszcze to \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\) ale skąd?

[Afish]

\(\displaystyle{ \begin{cases}\cos(x + \frac{1}{2}y) \cos(\frac{1}{2}y) = 0\\
\cos(\frac{1}{2}x + y)\cos(\frac{1}{2}x) = 0\end{cases}\\
\begin{cases}\frac{1}{2}\left(\cos(x + y) + \cos(x)\right) = 0\\
\frac{1}{2} \left( \cos(x+y) + \cos(y) \right) = 0\end{cases}\\
\begin{cases} \cos(x+y) + \cos(x) = 0\\
\cos(x+y) + cos(y) = 0\end{cases}\\
\text{Odejmujemy stronami}\\
\cos(x) - \cos(y) = 0\\
\cos(x) = \cos(y)\\
\text{Z tego nam wynika}\\
x = y + 2k\pi,k \in \mathbb{Z}\\}\)
Teraz podstawiamy do wyjściowych równań i mamy rozwiązania.

[Inkwizytor]

\(\displaystyle{ \cos(x) = \cos(y)\\
\text{Z tego nam wynika}\\
x = y + 2k\pi,k \in \mathbb{Z}\\}\)

Lub \(\displaystyle{ x = -y + 2k\pi,k \in \mathbb{Z}}\) (z parzystości funkcji cosinus)

[Afish]

Zaiste, dziękuję bardzo za poprawkę

[Inkwizytor]

To ja tez zamieszczę dalszy krok mego rozwiązania
Na podstawie tego:

Równanie pierwsze
\(\displaystyle{ cos(x+ \frac{1}{2} y) \cdot cos( \frac{1}{2} y)=0}\)
stąd
\(\displaystyle{ cos(x+ \frac{1}{2} y)=0 \vee cos( \frac{1}{2} y)=0}\)
Wypisujesz rozwiązanie dla pierwszego i dla drugiego czynnika

Równanie drugie
\(\displaystyle{ cos( \frac{1}{2} x +y) \cdot cos( \frac{1}{2} x)=0}\)
stąd
\(\displaystyle{ cos( \frac{1}{2} x +y)=0 \vee cos( \frac{1}{2} x)=0}\)
Wypisujesz rozwiązanie dla pierwszego i dla drugiego czynnika

Teraz trzeba "pożenić" rozwiązania z pierwszego równania \(\displaystyle{ (... \vee ...)}\) z analogicznymi rozwiązaniami z drugiego równania za pomocą \(\displaystyle{ ( \wedge )}\)

Tabelka 2x2 bedzie wysoce pomocna i czytelna. Wystarczy potem poredukować przypadki nakładające się

...tworzymy tabelkę taka:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
. & x+ 0,5y=k\pi & 0,5y=k\pi \\ \hline
0,5x +y=k\pi & ... & ... \\ \hline
0,5x=k\pi & ... & ... \\ \hline
\end{tabular}}\)

W polach powstaje rozwiązanie z kombinacji warunków. Niektóre z rozwiązań się upraszczają jak łatwo zauważyć