Wyznacz zbiór wartości funkcji

[voolt]

Zadanie 5.
\(\displaystyle{ f(x)=cosx+sinx-2}\)

[anna_]

Podpowiedź:
\(\displaystyle{ f(x)=cosx+sinx-2=cos x+cos( \frac{\pi}{2}+x)-2=...}\)

[voolt]

Można dłuższą podpowiedź... nadal nie wiem co z tym zrobic ...

[anna_]

Zastosuj wzór na sumę cosinusów

[janka]

Ze wzorów (można z tablic):

\(\displaystyle{ sinx+cosx= \sqrt{2} sin( \alpha + \frac{ \pi }{4} )}\)

\(\displaystyle{ sin( \alpha + \frac{ \pi }{4} ) \in <-1;1>}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{2}sin( \alpha + \frac{ \pi }{4} ) \in <- \sqrt{2}; \sqrt{2} >}\)

\(\displaystyle{ f(x) \in <- \sqrt{2}-2; \sqrt{2}+2 >}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ f(x) \in <- \sqrt{2}-2; \sqrt{2}+2 >}\)

To jest zła odpowiedź

[voolt]

Nadal nie rozumie, może ten temat po prostu nie jest dla mnie.... drugi raz podchodzę do zdawania trygonometrii i nadal nic mi nie świta w tym temacie.
Ma ktoś inny sposób na to zadanie?

[anna_]

Wzór na sumę cosinusów znalazłeś?

[voolt]

no tak:

\(\displaystyle{ cosx+cosy=2cos \frac{x+y}{2} \cdot cos \frac{x-y}{2}}\)

I co mi to daje bo nie widzę zastosowania

[anna_]

Ok, zgodnie z tym wzorem
\(\displaystyle{ f(x)=cosx+sinx-2=cos x+cos( \frac{\pi}{2}+x)-2}\)
będzie równe...

[voolt]

\(\displaystyle{ 2cos \frac{2x+ \frac{\pi }{2} }{2} \cdot cos \frac{-\pi}{4}-2}\)

i co z tym bo jeszcze bardziej sie przeraziłem formą zadania

[anna_]

\(\displaystyle{ f(x)=2cos \frac{2x+ \frac{\pi }{2} }{2} \cdot cos \frac{-\pi}{4}-2=2cos(x+ \frac{\pi}{4} ) \cdot cos \frac{\pi}{4}-2= \sqrt{2} cos(x+ \frac{\pi}{4} ) -2}\)

[abc666]

35088.htm?hilit=sin

[anna_]

Ale Janka to zrobiła prawie dobrze. Ma tylko błąd w ostatniej linijce.

[voolt]

Więc zbiór wartości bd równy czemu? Mi wyszło z obliczeń że:
\(\displaystyle{ Y \in < \frac{ -3\sqrt{2} }{2} ; \frac{- \sqrt{2} }{2}>}\)
Dobrze?
zrozumialem to tak ze jeżeli doprowadzimy to do takiej postaci to najpierw Yki cosx=<-1;1> zmiana gdy przesuwamy go o wektor [0,-2] wiec Yki zmieniają sie na (-3;-1) później dzielimy przez pierwiastek czyli dziedzina taka jak w odpowiedzi wyżej.