Sinus z cosinusa vs cosinus z sinusa

[Rothman]

Myślałem, że to znany problem, a tymczasem na forum nic nie znalazłem (czyżby nieprecyzyjne szukanie? :>). A zagadnienie dość ciekawe

Udowodnić, że dla każdego A rzeczywistego prawdziwa jest następująca nierówność:
\(\displaystyle{ cos(sin(A)) > sin(cos(A))}\)

[Lorek]

Wprowadźmy sobie takie zmienne
\(\displaystyle{ \sin A=s\\\cos A=c}\)
Mamy do udowodnienia nierówność
\(\displaystyle{ \cos(\sin A)>\sin(\cos A)}\)
czyli inaczej
\(\displaystyle{ \cos(\sin A)-\sin(\cos A)>0}\)
Na początku zauważmy, że
\(\displaystyle{ \sin A \cos A=s\pm c [-\sqrt{2};\sqrt{2}]}\)
a teraz przekształćmy co nieco
\(\displaystyle{ \cos(\sin A)-\sin(\cos A)=\cos s -\sin c=\cos s-\cos (\frac{\pi}{2}-c)=-2\sin \frac{s-\frac{\pi}{2}+c}{2}\sin \frac{s+\frac{\pi}{2}-c}{2}}\)
teraz zauważmy, że
\(\displaystyle{ \frac{s-\frac{\pi}{2}+c}{2} [\frac{-\sqrt{2}-\frac{\pi}{2}}{2};\frac{\sqrt{2}-\frac{\pi}{2}}{2}]\subset (-\frac{\pi}{2};0)\Rightarrow \sin \frac{s-\frac{\pi}{2}+c}{2}0}\)
czyli
\(\displaystyle{ -2\sin \frac{s-\frac{\pi}{2}+c}{2}\sin \frac{s+\frac{\pi}{2}-c}{2}>0}\)
ckd.