Czy punkt stały funkcji cosinus jest liczbą niewymierną?

[nobuddy]

Jak w temacie. Czy liczba x będąca rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x = cos x}\) jest niewymierna? Czy przestępna? Jest to całkiem ciekawa liczba np gdy weźmiemy ciąg

\(\displaystyle{ a_{n+1}= \cos ( a_{n})}\)

dla każdego \(\displaystyle{ a_{0}}\) to z obserwacji własnych będzie \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_{n} = x}\)

Oczywiście tego powyżej nie udowodniłem, po prostu zauważyłem że dla dowolnej liczby, gdy zaczniemy wykonywać na niej cosinus (na kalkulatorze) w końcu dojdziemy właśnie do \(\displaystyle{ x \approx 0,739085}\)

Co o tym myślicie?

Graficzne przedstawienie:

[szw1710]

Metoda poprawna, bo cosinus jest kontrakcją w przedziale \(\displaystyle{ \Bigl[0,\frac{\pi}{2}\Bigr].}\) Podstawą teoretyczną Twojego algorytmu jest twierdzenie Banacha o punkcie stałym (zasada Banacha). Właśnie metodą jego dowodu jest rozważenie ciągu, jaki opisałeś, czyli ciągu kolejnych złożeń badanej funkcji. Więc metoda, którą stosujesz, nie jest przypadkowa.

Ale w związku z niewymiernością liczby \(\displaystyle{ x}\) to wszystko nie ma nic do rzeczy.

Pytanie uznaję za bardzo interesujące, lecz od razu odpowiedzieć na nie nie potrafię. Tyle tylko, że rzeczywiście podejrzenie niewymierności jest bardzo sensowne. Raczej należy się skłaniać do dowodu niewymierności.

[nobuddy]

Dziękuję za pomoc. Ktoś jeszcze wie coś na ten temat? Piszę posta głównie by odświeżyć temat, bo pytanie jest nadal aktualne.