Jak w temacie. Czy liczba x będąca rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x = cos x}\) jest niewymierna? Czy przestępna? Jest to całkiem ciekawa liczba np gdy weźmiemy ciąg
\(\displaystyle{ a_{n+1}= \cos ( a_{n})}\)
dla każdego \(\displaystyle{ a_{0}}\) to z obserwacji własnych będzie \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_{n} = x}\)
Oczywiście tego powyżej nie udowodniłem, po prostu zauważyłem że dla dowolnej liczby, gdy zaczniemy wykonywać na niej cosinus (na kalkulatorze) w końcu dojdziemy właśnie do \(\displaystyle{ x \approx 0,739085}\)
Co o tym myślicie?
Graficzne przedstawienie:
Czy punkt stały funkcji cosinus jest liczbą niewymierną?
-
- Użytkownik
- Posty: 119
- Rejestracja: 24 gru 2010, o 07:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krosno
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 3 razy
Czy punkt stały funkcji cosinus jest liczbą niewymierną?
Ostatnio zmieniony 27 maja 2011, o 09:28 przez Afish, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Nie zamieszczaj równań w tytułach. Używaj \sin, \cos, \ln itp.
Powód: Nie zamieszczaj równań w tytułach. Używaj \sin, \cos, \ln itp.
Czy punkt stały funkcji cosinus jest liczbą niewymierną?
Metoda poprawna, bo cosinus jest kontrakcją w przedziale \(\displaystyle{ \Bigl[0,\frac{\pi}{2}\Bigr].}\) Podstawą teoretyczną Twojego algorytmu jest twierdzenie Banacha o punkcie stałym (zasada Banacha). Właśnie metodą jego dowodu jest rozważenie ciągu, jaki opisałeś, czyli ciągu kolejnych złożeń badanej funkcji. Więc metoda, którą stosujesz, nie jest przypadkowa.
Ale w związku z niewymiernością liczby \(\displaystyle{ x}\) to wszystko nie ma nic do rzeczy.
Pytanie uznaję za bardzo interesujące, lecz od razu odpowiedzieć na nie nie potrafię. Tyle tylko, że rzeczywiście podejrzenie niewymierności jest bardzo sensowne. Raczej należy się skłaniać do dowodu niewymierności.
Ale w związku z niewymiernością liczby \(\displaystyle{ x}\) to wszystko nie ma nic do rzeczy.
Pytanie uznaję za bardzo interesujące, lecz od razu odpowiedzieć na nie nie potrafię. Tyle tylko, że rzeczywiście podejrzenie niewymierności jest bardzo sensowne. Raczej należy się skłaniać do dowodu niewymierności.
-
- Użytkownik
- Posty: 119
- Rejestracja: 24 gru 2010, o 07:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krosno
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 3 razy
Czy punkt stały funkcji cosinus jest liczbą niewymierną?
Dziękuję za pomoc. Ktoś jeszcze wie coś na ten temat? Piszę posta głównie by odświeżyć temat, bo pytanie jest nadal aktualne.