funkcja nieokresowa
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
funkcja nieokresowa
Miejscami zerowymi tej funkcji są liczby:
\(\displaystyle{ \left\{\pm\sqrt{(n\pi)^3}:n\in\mathbb{Z}\right\}}\)
Gdyby funkcja była okresowa, to wobec tego ciąg:
\(\displaystyle{ b_n=\sqrt{(n\pi)^3}}\) dla \(\displaystyle{ n=0,1,2,\ldots}\)
a więc również ciąg
\(\displaystyle{ a_n=\frac{b_n}{\sqrt{\pi^3}}=\sqrt{n^3}}\)
zawierałby podciąg arytmetyczny.
Z drugiej jednak strony
\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\sqrt{(n+1)^3}-\sqrt{n^3}=\frac{(n+1)^3-n^3}{\sqrt{(n+1)^3}+\sqrt{n^3}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{3n^2+3n+1}{\sqrt{(n+1)^3}+\sqrt{n^3}}\ge\frac{3n^2}{\sqrt{(n+1)^3}}\to\infty}\).
Gdyby więc \(\displaystyle{ c_n}\) był arytmetycznym podciągiem ciągu \(\displaystyle{ a_n}\), to również \(\displaystyle{ c_{n+1}-c_n\to\infty}\), a to przeczy arytmetyczności.
\(\displaystyle{ \left\{\pm\sqrt{(n\pi)^3}:n\in\mathbb{Z}\right\}}\)
Gdyby funkcja była okresowa, to wobec tego ciąg:
\(\displaystyle{ b_n=\sqrt{(n\pi)^3}}\) dla \(\displaystyle{ n=0,1,2,\ldots}\)
a więc również ciąg
\(\displaystyle{ a_n=\frac{b_n}{\sqrt{\pi^3}}=\sqrt{n^3}}\)
zawierałby podciąg arytmetyczny.
Z drugiej jednak strony
\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\sqrt{(n+1)^3}-\sqrt{n^3}=\frac{(n+1)^3-n^3}{\sqrt{(n+1)^3}+\sqrt{n^3}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{3n^2+3n+1}{\sqrt{(n+1)^3}+\sqrt{n^3}}\ge\frac{3n^2}{\sqrt{(n+1)^3}}\to\infty}\).
Gdyby więc \(\displaystyle{ c_n}\) był arytmetycznym podciągiem ciągu \(\displaystyle{ a_n}\), to również \(\displaystyle{ c_{n+1}-c_n\to\infty}\), a to przeczy arytmetyczności.