wiedzac ze \(\displaystyle{ sin \alpha \cdot cos \alpha = \frac{1}{4}}\) oblicz
a) \(\displaystyle{ sin^{3} \alpha +cos ^{3} \alpha}\)
b)\(\displaystyle{ sin ^{4} \alpha +cos ^{4} \alpha}\)
tozsamosc trygonometryczna
tozsamosc trygonometryczna
Ostatnio zmieniony 18 maja 2011, o 20:54 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to '\cdot'.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to '\cdot'.
-
BraveMind
- Użytkownik
- Posty: 106
- Rejestracja: 9 maja 2011, o 18:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 12 razy
tozsamosc trygonometryczna
No po lewej stronie masz jedynkę trygonometryczną podniesioną do kwadratu, iloczyn \(\displaystyle{ sin\alpha \cdot cos\alpha}\) masz dany, więc sumę \(\displaystyle{ sin^4\alpha+cos^4\alpha}\) masz jak na dłoni
tozsamosc trygonometryczna
Odnośnie przykładu a.
\(\displaystyle{ sin ^{3} \alpha + cos ^{3} \alpha = (sin\alpha + cos\alpha)(sin ^{2} \alpha - sin\alpha cos\alpha + cos ^{2}\alpha)}\)
\(\displaystyle{ sin ^{3} \alpha + cos ^{3} \alpha = (sin\alpha + cos\alpha)(1 - \frac{1}{4})}\)
\(\displaystyle{ sin ^{3} \alpha + cos ^{3} \alpha = \frac{3}{4}(sin\alpha + cos\alpha)}\)
\(\displaystyle{ sin ^{3} \alpha + cos ^{3} \alpha = \frac{3sin\alpha}{4} + \frac{3cos\alpha}{4}}\)
\(\displaystyle{ sin ^{3} \alpha + cos ^{3} \alpha = \frac{3(sin\alpha + cos\alpha)}{4}}\)
Podnieśmy teraz wyrażenia obustronnie do kwadratu:
\(\displaystyle{ (sin ^{3} \alpha + cos ^{3} \alpha)^{2} = \frac{9(sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha + 2sin\alpha cos\alpha)}{16}}\)
\(\displaystyle{ (sin ^{3} \alpha + cos ^{3} \alpha)^{2} = \frac{9(1 + \frac{2}{4})}{16}}\)
\(\displaystyle{ (sin ^{3} \alpha + cos ^{3} \alpha)^{2} = \frac{9\frac{18}{4}}{16} = \frac{54}{16 \cdot 4}= \frac{54}{64}}\)
To teraz znieśmy ten niepotrzebny kwadrat:
\(\displaystyle{ sin ^{3} \alpha + cos ^{3} \alpha = \frac{ \sqrt{54}}{8}}\)
Istnieje możliwość, że do tych szalonych obliczeń wkradł się błąd.
\(\displaystyle{ sin ^{3} \alpha + cos ^{3} \alpha = (sin\alpha + cos\alpha)(sin ^{2} \alpha - sin\alpha cos\alpha + cos ^{2}\alpha)}\)
\(\displaystyle{ sin ^{3} \alpha + cos ^{3} \alpha = (sin\alpha + cos\alpha)(1 - \frac{1}{4})}\)
\(\displaystyle{ sin ^{3} \alpha + cos ^{3} \alpha = \frac{3}{4}(sin\alpha + cos\alpha)}\)
\(\displaystyle{ sin ^{3} \alpha + cos ^{3} \alpha = \frac{3sin\alpha}{4} + \frac{3cos\alpha}{4}}\)
\(\displaystyle{ sin ^{3} \alpha + cos ^{3} \alpha = \frac{3(sin\alpha + cos\alpha)}{4}}\)
Podnieśmy teraz wyrażenia obustronnie do kwadratu:
\(\displaystyle{ (sin ^{3} \alpha + cos ^{3} \alpha)^{2} = \frac{9(sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha + 2sin\alpha cos\alpha)}{16}}\)
\(\displaystyle{ (sin ^{3} \alpha + cos ^{3} \alpha)^{2} = \frac{9(1 + \frac{2}{4})}{16}}\)
\(\displaystyle{ (sin ^{3} \alpha + cos ^{3} \alpha)^{2} = \frac{9\frac{18}{4}}{16} = \frac{54}{16 \cdot 4}= \frac{54}{64}}\)
To teraz znieśmy ten niepotrzebny kwadrat:
\(\displaystyle{ sin ^{3} \alpha + cos ^{3} \alpha = \frac{ \sqrt{54}}{8}}\)
Istnieje możliwość, że do tych szalonych obliczeń wkradł się błąd.