oblicz wartosc wyrazenia, suma szóstych potęg

[cactooos]

oblicz wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ sin ^{6} \alpha + cos ^{6} \alpha}\)

wiedząc, że
\(\displaystyle{ sin \alpha cos \alpha = \frac{ \sqrt{5} }{6}}\)

z czwartymi potęgami sobie poradziłem, ale tu mam mały problem mogę prosić o jakąś podpowiedź?

[zidan3]

\(\displaystyle{ (\sin ^{2} x+\cos ^{2} x)(\sin ^{4} x-\sin ^{2} x\cos ^{2} x + \cos ^{4})}\)
Jak dales sobie rade z czwartymi potegami to juz rozwiazesz do konca

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ (\sin ^{2} x + \cos ^{2} x) ^{2} -3(\sin x\cos x) ^{2}=1-3( \frac{ \sqrt{5} }{6}) ^{2}=1-3 \cdot \frac{5}{36}=1- \frac{5}{12}= \frac{7}{12}}\)

Tu masz rozwiazanie, mam nadzieje, ze sie nie pomylilem.

[adambak]

Tu masz rozwiazanie, mam nadzieje, ze sie nie pomylilem.

wszystko jest wporządku..

[cactooos]

w zyciu bym nie wpadl zeby z tego

\(\displaystyle{ (\sin ^{2} x+\cos ^{2} x)(\sin ^{4} x-\sin ^{2} x\cos ^{2} x + \cos ^{4})}\)

skorzystac ;/ dzieki wielkie

[adambak]

w zyciu bym nie wpadl zeby z tego

\(\displaystyle{ (\sin ^{2} x+\cos ^{2} x)(\sin ^{4} x-\sin ^{2} x\cos ^{2} x + \cos ^{4})}\)

skorzystac ;/ dzieki wielkie

dlaczego? stosujesz wzór na sumę sześcianów, tyle że w tym przypadku bierzesz kwadraty tych wyrażeń do wzoru na sumę sześcianów żeby otrzymać szóste potęgi..-- 15 maja 2011, o 12:10 --w zadaniach tego typu zawsze chodzi o wzory skróconego mnożenia, a tutaj jakiegoś ogromnego wyboru nie mamy (w karcie wzorów)..

[cactooos]

a ktos moglby sprawdzic mi to: \(\displaystyle{ (1+tg ^{2} \alpha )(1-sin ^{2} \alpha ) = 1}\) ? wyszlo mi na koniec po wymnozeniu : \(\displaystyle{ \frac{1-sin ^{4} \alpha }{1-sin ^{2} \alpha }}\) no i ze L \(\displaystyle{ \neq}\) P

[void_t]

\(\displaystyle{ (1+tg ^{2} \alpha )(1-sin ^{2} \alpha ) = 1}\)

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej dla wyrażenia \(\displaystyle{ (1-sin ^{2} \alpha )}\)
\(\displaystyle{ L = (1+tg ^{2} \alpha)cos ^{2} \alpha}\)
\(\displaystyle{ L = cos ^{2} \alpha + cos ^{2} \alpha \frac{sin ^{2} \alpha}{cos ^{2} \alpha}}\)
\(\displaystyle{ L = cos ^{2} \alpha + sin ^{2} \alpha = 1}\)

Ostatecznie
\(\displaystyle{ L = P}\)

[cactooos]

no faktycznie zamotalem troche, za bardzo chcialem zeby w jednym przykladzie chociaz L \(\displaystyle{ \neq}\) P

jakas podowiedz do :

\(\displaystyle{ (2sin^{2} \alpha - 1)(2sin^{2} \beta - 1) = cos^{2}( \alpha + \beta) - sin^{2}(\alpha - \beta)}\)

\(\displaystyle{ \frac{cos( \alpha + \beta )}{cos(\alpha - \beta)} = \frac{1-tg \alpha tg \beta}{1+tg \alpha tg \beta}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+sin2 \alpha}{cos2 \alpha} = \frac{1+ tg \alpha}{1- tg \alpha}}\)
?

bo zacinam sie w polowie i nie wiem co dalej robic.

[stuart clark]

. Ponieważ wiemy, że \(\displaystyle{ sin^6\;\alpha+cos^6\;\alpha = 1-3.sin^2\;\alpha.cos^2\;\alpha\Leftrightarrow sin^6\;\alpha+cos^6\;\alpha = 1-3(sin\;\alpha.cos\;\alpha)^2}\)

\(\displaystyle{ sin^6\;\alpha+cos^6\;\alpha=1-3\left(\frac{\sqrt{5}}{6}\right)^2=\frac{7}{36}}\)

[cactooos]

no akurat to juz wyzej jest i w dodatku zla odpowiedz podales zapomniales skrocic 3 i 36

[void_t]

cactooos, zwykle obliczenia trygonometryczne na poziomie liceum sprowadzają się do znanych Ci tożsamości trygonometrycznych, a zadania w treści których znajdziesz: "czy poniższe równanie jest tożsamością trygonometryczną?" najczęściej prowadzą do twierdzących odpowiedzi