Iloczyn tangensów
-
stuart clark
- Użytkownik
- Posty: 136
- Rejestracja: 21 sty 2011, o 12:36
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 3 razy
Iloczyn tangensów
udowodnić, że \(\displaystyle{ \mathbf{\tan\left(\frac{\pi}{11}\right)\cdot \tan\left(\frac{2\pi}{11}\right)\cdot \tan\left(\frac{3 \pi}{11}\right)\cdot \tan\left(\frac{4\pi}{11}\right)\cdot \tan\left(\frac{5\pi}{11}\right)=\sqrt{11}}}\)
Ostatnio zmieniony 10 maja 2011, o 23:49 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to '\cdot'.Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to '\cdot'.Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.Temat umieszczony w złym dziale.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10222
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Iloczyn tangensów
\(\displaystyle{ \cos (n \varphi) + \mathrm i \sin (n \varphi) = (\cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi)^n = \cos^n \varphi + {n \choose 1} \mathrm i \cos^{n-1} \varphi \sin \varphi - {n \choose 2} \cos^{n-2} \varphi \sin^2 \varphi - {n \choose 3} \mathrm i \cos^{n-3} \varphi \sin^3 \varphi + \ldots + \mathrm i^n \sin^n \varphi.}\)
Kładąc \(\displaystyle{ n=2m+1}\) i porównując części urojone, dostajemy
\(\displaystyle{ \sin (2m+1)\varphi = {2m+1 \choose 1} \cos^{2m} \varphi \sin \varphi - {2m+1 \choose 3} \cos^{2m-2} \varphi \sin^3 \varphi {+ \ldots + (-1)^m \sin^{2m+1} \varphi} = \\ \\
= \sin^{2m+1} \varphi \cdot P_m \left(\ctg^2 \varphi \right),}\)
gdzie
\(\displaystyle{ P_m(x) ={2m+1 \choose 1} x^m - {2m+1 \choose 3} x^{m-1} + {2m+1 \choose 5} x^{m-2} - \ldots + (-1)^m. \qquad \qquad (1)}\)
Dla \(\displaystyle{ \varphi_k = \frac{k \pi}{2m+1}}\) przy \(\displaystyle{ k=1, 2, 3, \ldots, m}\) mamy
\(\displaystyle{ \sin(2m+1) \varphi_k = 0}\) oraz \(\displaystyle{ \sin^{2m+1} \varphi_k \neq 0,}\)
więc liczby \(\displaystyle{ \ctg^2 \varphi_k}\) są wszystkimi pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ P_m.}\) Stąd
\(\displaystyle{ P_m(x) \equiv {2m+1 \choose 1} \cdot \left( x- \ctg^2 \frac{\pi}{2m+1} \right) \cdots \left( x- \ctg^2 \frac{m \pi}{2m+1} \right). \qquad (2)}\)
Porównując w postaciach \(\displaystyle{ (1)}\) i \(\displaystyle{ (2)}\) wielomianu \(\displaystyle{ P_m}\) wyrazy wolne, dostajemy
\(\displaystyle{ (-1)^m = {2m+1 \choose 1} \cdot (-1)^m \cdot \prod_{k=1}^m \ctg^2 \frac{k \pi}{2m+1}.}\)
Mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ \prod_{k=1}^m \tg^2 \frac{k \pi}{2m+1}}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^m \tg^2 \frac{k \pi}{2m+1} = 2m+1.}\)
Dla \(\displaystyle{ m=5}\) wobec faktu, że \(\displaystyle{ \tg \frac{k \pi}{2m+1} > 0,}\) mamy
\(\displaystyle{ \tg \frac{\pi}{11} \cdot \tg \frac{2 \pi}{11} \cdot \tg \frac{3 \pi}{11} \cdot \tg \frac{4 \pi}{11} \cdot \tg \frac{5 \pi}{11} = \sqrt{11}.}\)
Kładąc \(\displaystyle{ n=2m+1}\) i porównując części urojone, dostajemy
\(\displaystyle{ \sin (2m+1)\varphi = {2m+1 \choose 1} \cos^{2m} \varphi \sin \varphi - {2m+1 \choose 3} \cos^{2m-2} \varphi \sin^3 \varphi {+ \ldots + (-1)^m \sin^{2m+1} \varphi} = \\ \\
= \sin^{2m+1} \varphi \cdot P_m \left(\ctg^2 \varphi \right),}\)
gdzie
\(\displaystyle{ P_m(x) ={2m+1 \choose 1} x^m - {2m+1 \choose 3} x^{m-1} + {2m+1 \choose 5} x^{m-2} - \ldots + (-1)^m. \qquad \qquad (1)}\)
Dla \(\displaystyle{ \varphi_k = \frac{k \pi}{2m+1}}\) przy \(\displaystyle{ k=1, 2, 3, \ldots, m}\) mamy
\(\displaystyle{ \sin(2m+1) \varphi_k = 0}\) oraz \(\displaystyle{ \sin^{2m+1} \varphi_k \neq 0,}\)
więc liczby \(\displaystyle{ \ctg^2 \varphi_k}\) są wszystkimi pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ P_m.}\) Stąd
\(\displaystyle{ P_m(x) \equiv {2m+1 \choose 1} \cdot \left( x- \ctg^2 \frac{\pi}{2m+1} \right) \cdots \left( x- \ctg^2 \frac{m \pi}{2m+1} \right). \qquad (2)}\)
Porównując w postaciach \(\displaystyle{ (1)}\) i \(\displaystyle{ (2)}\) wielomianu \(\displaystyle{ P_m}\) wyrazy wolne, dostajemy
\(\displaystyle{ (-1)^m = {2m+1 \choose 1} \cdot (-1)^m \cdot \prod_{k=1}^m \ctg^2 \frac{k \pi}{2m+1}.}\)
Mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ \prod_{k=1}^m \tg^2 \frac{k \pi}{2m+1}}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^m \tg^2 \frac{k \pi}{2m+1} = 2m+1.}\)
Dla \(\displaystyle{ m=5}\) wobec faktu, że \(\displaystyle{ \tg \frac{k \pi}{2m+1} > 0,}\) mamy
\(\displaystyle{ \tg \frac{\pi}{11} \cdot \tg \frac{2 \pi}{11} \cdot \tg \frac{3 \pi}{11} \cdot \tg \frac{4 \pi}{11} \cdot \tg \frac{5 \pi}{11} = \sqrt{11}.}\)
-
stuart clark
- Użytkownik
- Posty: 136
- Rejestracja: 21 sty 2011, o 12:36
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 3 razy