Udowodnij

[krystian122]

Witam, siedze siedze i nie wiem jak to zrobic, moze ktos by mogl mi pomoc:

Korzystając z odpowiedniego twierdzenia (podać je), udowodnić nierówność:

\(\displaystyle{ | cos(2x) - cos(2y) | q 2 |x - y|}\)

z góry dziękuję

[kuch2r]

\(\displaystyle{ |cos(2x)-cos(2y)|=|-2sin\frac{2x+2y}{2}\sin\frac{2x-2y}{2}|=2|sin(x+y)sin(x-y)|=2|sin(x-y)||sin(x+y)|}\)(*)
Wiemy,ze:
\(\displaystyle{ \forall t\in\matbb{R} \ \ sin(t)\leq 1}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ sin(x+y)\leq 1}\)
Wracaj do (*)
\(\displaystyle{ |cos(2x)-cos(2y)|\leq2|sin(x-y)|}\)
Wiemy rowniez ze zachodzi nastepujaca nierownosc:
\(\displaystyle{ \forall x\in \mathbb{R}\ \ sinx\leq x}\)(**)
Stad:
\(\displaystyle{ |cos(2x)-cos(2y)|\leq2|sin(x-y)|\leq 2|x-y|}\)

(**) mozna udowodnic korzystajac z twierdzenia lagrange'a (dokladniej wykorzystujac wnioski z tego twierdzenia)