równanie trygonometryczne

Vixy · Post autor: **Vixy** » 3 sty 2007, o 21:47

\(\displaystyle{ cosx-sinx=}\)\(\displaystyle{ \frac{1}{cosx}}\)

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 3 sty 2007, o 21:59

Z: cosx≠0
Z takim założeniem mnożysz przez mianownik:
\(\displaystyle{ cos^{2}x-sinxcosx=1}\)
\(\displaystyle{ 1-sin^{2}x-sinxcosx=1}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x+sinxcosx=0}\)
\(\displaystyle{ sinx(sinx+cosx)=0}\)

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 3 sty 2007, o 22:18

mógłby mi ktoś powiedzieć czy równanie \(\displaystyle{ sinx+cosx=0}\) ma jakieś rozwiązania?
albo równanie : \(\displaystyle{ sinx=cosx}\)?
jak takie coś rozwiązać?

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 3 sty 2007, o 22:24

sinx=cosx

Ma rozwiązanie chyba dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+k\pi}\)

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 3 sty 2007, o 22:25

hmm, dla pi/2? przecież sin pi/2=1 a cos pi/2=0, więc coś mi się zdaje że nie...

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 3 sty 2007, o 22:32

Przekliczenie

matekleliczek · Post autor: **matekleliczek** » 3 sty 2007, o 22:35

założenie
\(\displaystyle{ kin C\
cosx
eq0\
x
eqfrac{pi}{2}+kpi\
x
eqfrac{-pi}{2}+kpi\
\(\displaystyle{
cosx - sinx=\frac{1}{cosx}\\
cos^2x-sinxcosx=1\\}\)
z jedynki wyznaczamy tryg.
\(\displaystyle{ sin^2+cos^2x=1=>cos^2=1-sin^2x=>cosx=\sqrt{1-sin^2x}\\
1-sin^2x-sinxcosx=1\\
-sin^2x-sinx\sqrt{1-sin^2x}=0\\
sinx(sinx-\sqrt{1-sin^2x})=0\\
sinx=o lub sinx=\sqrt{1-sin^2x}\\
x=k\pi lub sin^2x=|1-sin^2x|\\}\)
opuszcamy wartość bo \(\displaystyle{ 1-sin^2x}\) zawsze jest \(\displaystyle{ \geq0\\
sin^2x=1-sin^2x\\
sin^2x=\frac{1}{2}\\
sinx=\frac{1}{4} lub sinx=\frac{-1}{4}\\
x\approx14,48° lubx\approx165,52°lub x\appro-14,48° lub x\appro194,48°\\}\)
biorą pod uwage założeni otrzymujemy
\(\displaystyle{ x\in}\){\(\displaystyle{ k\pi ,14,48°+2k\pi ,165,52°+2k\pi ,-14,48°+2k\pi ,194,48°+2k\pi}\)}}\)

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 3 sty 2007, o 22:36

a no tak dobrze mówisz, ale bardziej chodzi mi o to 1, bo w sumie na 2 to też sam wpadłem :p bo patrzę tak na wykresy i nigdzie mi się za bardzo nie zgadza, więc chyba nie ma rozwiązań. pozatym cos=sin+pi/2, więc chyba lipa z tego.

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 3 sty 2007, o 22:43

1.
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}}\)

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 3 sty 2007, o 22:48

ale sinx=-cosx a dla pi/4 sinx=cosx.

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 3 sty 2007, o 22:51

To co napisałem zgadza się tylko dla nieparzystych i różnych od zera, k

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 3 sty 2007, o 22:53

a no tak widzę już, ale jak do tego doszedłeś? wykres sobie narysowałeś?

LecHu :) · Post autor: **LecHu :)** » 3 sty 2007, o 22:57

Trzeba wziąć pare rzeczy pod uwagę:
-sin i cosinus muszą być przeciwnych znaków ale wartości bezwzględne z nich muszą być takie same stąd pi/4
-Muszą też mieć przeciwne znaki.Kiedy tak jest? kiedy są w 2 lub czwartej ćwiartce
-Ile trzeba więc dodać lub odjąć by przenieść kąt 45 do 2 lub 4 ćwiartki? Trzeba dodać kolejno wielokrotność 90 lub 270 stopni.