Równanie Trygonometryczne

[windows160]

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania \(\displaystyle{ 2 \cos ^ {2}x - 5 \sin x - 4 = 0}\) należące do przedziału \(\displaystyle{ [0,2 \pi ]}\).

Na sam koniec muszę zapisać rozwiązania równania \(\displaystyle{ \sin x = - \frac{1}{2}}\) należące do przedziału \(\displaystyle{ [0,2 \pi ]}\) ( to \(\displaystyle{ \sin x}\) wyszło mi ze wcześniejszych obliczeń ).

W odpowiedziach wyszło \(\displaystyle{ x = \frac{11 \pi }{6}}\) i \(\displaystyle{ x= \frac{7}{6} \pi}\)

Jak się to liczy?

[wszamol]

zauważ, że \(\displaystyle{ 2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x}\)

podstawiając pod równanie dos an i emy

\(\displaystyle{ -2\sin ^{2}x-5 \sin x -2=0}\)

teraz podstawiasz \(\displaystyle{ t= \sin x}\) i otrzymujesz równanie kwadratowe \(\displaystyle{ -2t ^{2} -5t-2=0}\)

rozwiązujesz, dostajesz takie coś \(\displaystyle{ \sin x =- \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \sin x =-2}\) przy czym to drugie równanie nie ma rozwiązań.

[chris_]

Wykorzystując to, że sinus jest funkcją nieparzystą.

\(\displaystyle{ \sin x = \frac{-1}{2}\\
-\sin x = \frac{1}{2}\\
\sin (-x) = \frac{1}{2}\\
-x = \frac{\pi}{6} \vee -x = \pi - \frac{\pi}{6}\\
x = -\frac{\pi}{6} \vee x = -\frac{5\pi}{6} \\
x = \frac{11\pi}{6} \vee x = \frac{7\pi}{6}}\)