Równanie z parametrem

[Marmite]

Cześć. Trafiłem na zadanie w którym muszę wyliczyć dla jakich wartości parametru m dane równanie może mieć rozwiązania. Banalne, ale wynik nie zgadza mi się z odpowiedziami, a wiadomo, ze samemu błąd ciężko wyłapać (próbowałem już parę razy i nie widzę, ba, robiłem to zadanie z miesiąc temu i wyszło mi dokładnie to co teraz). Zatem to równanie:

\(\displaystyle{ \cos2(x) - \cos(x) = m\\
2\cos^{2}(x) - \cos(x) - (m+1) = 0\\\\
\cos(x) = t, t \in <-1, 1>\\\\
2t^{2} - t - (m+1) = 0\\
\Delta \ge 0\\
1 + 8(m+1) \ge 0\\
m \ge \frac{-9}{8}}\)

Wszystko fajnie, to teraz pierwiastki:

\(\displaystyle{ \Delta = 9 + 8m\\
\sqrt{\Delta} = \sqrt{9 + 8m}\\
t_{1} = \frac{1 - \sqrt{9+8m}}{4}\\
t_{2} = \frac{1 + \sqrt{9+8m}}{4}}\)

Ponieważ założyliśmy że t należy od -1 do 1, musimy to teraz zapisać. Rozważmy osobno dwa pierwiastki:

\(\displaystyle{ \frac{1 + \sqrt{9+8m}}{4} \ge -1 \wedge \frac{1 + \sqrt{9+8m}}{4} \le 1\\
\sqrt{9+8m} \ge -5 \wedge \sqrt{9+8m} \le 3\\
m \in R \wedge 9 + 8m \le 9\\
m \in R \wedge m \le 0\\}\)

Drugi pierwiastek:

\(\displaystyle{ \frac{1 - \sqrt{9+8m}}{4} \ge -1 \wedge \frac{1 - \sqrt{9+8m}}{4} \le 1\\
-\sqrt{9+8m} \ge -5 \wedge -\sqrt{9+8m} \le 3\\
\sqrt{9+8m} \le 5 \wedge \sqrt{9+8m} \ge -3\\
9+8m \le 25 \wedge m \in R\\
m \le 2 \wedge m \in R \\}\)

Po zbiciu do kupy wyliczonych przedziałów otrzymuję rozwiązanie \(\displaystyle{ m \in <\frac{-9}{8}, 0>}\) tym czasem wg odpowiedzi powinno wyjść \(\displaystyle{ m \in <\frac{-9}{8}, 2>}\). I nie wiem co mam nie tak. Z góry dzięki za pomoc!

[piasek101]

Może mieć jedno rozwiązanie - i już ma.

[Marmite]

Nie bardzo rozumiem co masz na myśli, a jeśli już to dlaczego - mógłbyś przybliżyć?

[piasek101]

Zwrot ,,równanie może mieć rozwiązania" rozumiem jako - istnieje co najmniej jedno rozwiązanie (czyli niekoniecznie dwa różne).

[Marmite]

Nie mam pojęcia jak przełożyć to rozumowanie na to, co napisałem odnośnie rozwiązania tego zadania. Problem polega na tym, że gdzieś ewidentnie mam błąd w rozumowaniu, skoro technicznie poprawne rozwiązanie daje złe rezultaty. Tylko nie wiem co - zwykłe równanie kwadratowe, podstawienie zmiennej, poszukiwanie pierwiastków, przyrównanie do zmiennej. A jednak odpowiedź wychodzi inna.


A za dwa dni matura...

[Jan Kraszewski]

Jeżeli przyjmiemy interpretację piaska:

Zwrot ,,równanie może mieć rozwiązania" rozumiem jako - istnieje co najmniej jedno rozwiązanie (czyli niekoniecznie dwa różne).

(nawiasem mówiąc, czy w treści zadania nie było ,równanie może mieć rozwiązanie"?), to błąd masz przy zbijaniu do kupy, bo tam powinno być "pierwszy pierwiastek" lub "drugi pierwiastek", a nie "pierwszy pierwiastek" i "drugi pierwiastek", jak zrobiłeś.

JK

[Marmite]

No tak, teraz rozumiem... Dzięki Wam obu!