zależności między funkcjami

[mariuszK3]

Oblicz

\(\displaystyle{ tg \alpha}\) jeśli

\(\displaystyle{ sin\alpha - cos\alpha= \frac{ \sqrt{2} }{2} \wedge \alpha \in ( \frac{ \pi }{4}, \frac{ \pi }{2})}\)-- 1 maja 2011, o 15:07 --tak kominowałem i doprowadziłem to do postaci

\(\displaystyle{ 2sin \alpha \cdot cos \alpha = \frac{1}{2}}\)

ale nie wiem czy to dobrze w ogóle? bo jesli tak to mozna by zrobić ze


\(\displaystyle{ sin \alpha \cdot cos \alpha =1 \Leftrightarrow sin \alpha =1 \wedge cos \alpha =1}\)

tak?

wiec \(\displaystyle{ tg \alpha =1}\)??

[chris_]

Twój wynik nie spełnia warunków zadania, więc nie może być poprawny:
\(\displaystyle{ \tan \alpha = 1 \\
\alpha = \arctan 1 \\
\alpha = \frac{\pi}{4} \not\in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)}\)

To prawda:
\(\displaystyle{ 2sin \alpha \cdot cos \alpha = \frac{1}{2}}\)
Teraz korzystasz z tożsamości na \(\displaystyle{ \sin 2\alpha}\):
\(\displaystyle{ \sin 2\alpha = \frac{1}{2}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ 2\alpha = \frac{\pi}{6} \vee 2\alpha = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{12} \vee \alpha = \frac{5\pi}{12}}\)

Sprawdzamy co należy do dziedziny i otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{5\pi}{12}}\)

teraz policz:
\(\displaystyle{ \tan \frac{5\pi}{12}}\)
prawidłowa odpowiedź to:
\(\displaystyle{ \sqrt{3} + 2}\)-- 1 maja 2011, o 17:04 --podpowiedź:
wykorzystaj fakt, że:
\(\displaystyle{ \sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{4}}\)

[mariuszK3]

ale do czego mam to wykorzystać? nie mogę tego zrobić tak jak Ty?-- 1 maja 2011, o 20:14 --w ogóle mógłbyś mi powiedzieć jak zamieniłeś ten tangens na talkie wartości bo ja kombinuje i kombinuje i nie wiem jak to zamienić:( wiem ze z trójkata w układzie współrzędnych o kątach 75, 15 i 90? i co z tym dalej?

[chris_]

Ja zrobiłem to tak:

\(\displaystyle{ \sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{4} \\
\cot \alpha = \frac{1}{4\sin ^2 \alpha} \\\\
\tan \alpha = 4 \sin ^2 \alpha}\)

teraz podstawiasz \(\displaystyle{ \alpha = \frac{5\pi}{12}}\):
\(\displaystyle{ \tan \frac{5\pi}{12} =4\sin ^2 \frac{5\pi}{12}}\)

wykorzystujemy tożsamość: \(\displaystyle{ \sin ^2 \alpha = \frac{1-\cos 2 \alpha}{2}}\)

\(\displaystyle{ 4 \sin ^2 \frac{5\pi}{12} =4\cdot \frac{1}{2} \left( 1 - \cos \frac{5\pi}{6}\right) = 2- 2\cos \frac{5\pi}{6}}\)

Ze wzorów redukcyjnych wiemy, że:
\(\displaystyle{ \cos \frac{5\pi}{6} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = -\sin \frac{\pi}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2}}\)

wracamy trochę wcześnie i wstawiamy nasz wynik:
\(\displaystyle{ \tan \frac{5\pi}{12}= 2 - 2\cdot \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2+\sqrt{3}}\)

proste, nie?

[mariuszK3]

nie bardzo:D jakiegoś innego sposobu nie ma?:)

[piasek101]

Przecież chris_ wszystko ładnie podał.

[mariuszK3]

bo na przykład tej tożsamości nie znałem i na sprawdzianie albo na amturze musiałbym to udowadniac bo w tablicach nie ma:)

[chris_]

hehe, nie bój się, da się prościej
wykorzystaj fakt, że:
\(\displaystyle{ \frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \\
\left( 75 ^\circ = 45^\circ + 30^\circ\right)}\)

i wzory na funkcje sum kątów

-- 1 maja 2011, o 21:07 --

bo na przykład tej tożsamości nie znałem i na sprawdzianie albo na amturze musiałbym to udowadniac bo w tablicach nie ma:)

i tu sie mylisz, bo to jest przekształcony wzór na \(\displaystyle{ \cos 2 \alpha}\), jest w tablicach tylko w innej postaci

[piasek101]

Jak nie ma jak jest \(\displaystyle{ sin(\alpha+\alpha)=...}\).

Nawet jeśli by nie było to nie musisz udowadniać.

[chris_]

wcześniej pisałem oczywiście o: \(\displaystyle{ \sin ^2 \alpha = \frac{1-\cos 2 \alpha}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin 2 \alpha}\) oczywiście też jest w tablicach.

[mariuszK3]

jasne, dzięki:)