Sinus 20stopni

smutnomiboze · Post autor: **smutnomiboze** » 1 maja 2011, o 13:02

Witam,

jak można obliczyć \(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{9}}\)? bo głowię się nad tym i nie doszedłem do niczego

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 1 maja 2011, o 13:12

Wykorzystaj znaną wartość \(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{3}}\), wzór na sinus potrojonego kąta (możesz go samodzielnie wyprowadzić) oraz jedynkę trygonometryczną.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 1 maja 2011, o 13:17

Podejrzenie skomplikowanych ,,rachunków" - wartość nie jest (raczej) spotykana.

smutnomiboze · Post autor: **smutnomiboze** » 1 maja 2011, o 13:19

niestety, wciąż nie wiem jak to zrobić.. nie umiem wyprowadzić wzoru na sinus potrojonego kąta, próbowałem z wzorami redukcyjnymi - ale wtedy dostaję \(\displaystyle{ \cos 70^\circ}\) i nijak mi to nie wychodzi. czy nie mógłby ktoś tego rozpisać?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 1 maja 2011, o 13:21

Jakby to szło w oczywisty sposób to mielibyśmy dokładny wynik w dostępnych tablicach - skoro tego nie mamy to nie idzie klasycznie (może jakieś wzory Cardano, czy cóś podobnego).

Podobne :
198343.htm

wszamol · Post autor: **wszamol** » 1 maja 2011, o 13:24

wzór na sinus potrojonego kąta:

\(\displaystyle{ \sin 3 \alpha = \sin \alpha (3-4\sin ^{2} \alpha)}\)

Ale nie wiem czy to CI coś pomoże ;p

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 1 maja 2011, o 13:26

Mamy
\(\displaystyle{ \sin 3x=\sin(2x+x)=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x=\\=2\sin x\cos^2x+\sin x\cos^2x-\sin^3x=3\sin x\cos^2x-\sin^3x,}\)
więc
\(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{3}=3\sin\frac{\pi}{9}\cos^2\frac{\pi}{9}-\sin^3\frac{\pi}{9}=3\sin\frac{\pi}{9}-4\sin^3\frac{\pi}{9}.}\)
Trzeba teraz rozwiązać otrzymane równanie wielomianowe trzeciego stopnia (jak zauważył piasek101 można się tu posłużyć wzorami Cardano).

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 19 maja 2011, o 09:39

Wzory Cardano nic tutaj nie dadzą ponieważ otrzymamy casus irreducibilis który jest wyrażony za pomocą funkcyj trygonometrycznych

Marcinek665 · Post autor: **Marcinek665** » 19 maja 2011, o 10:09

Wystarczy obliczyć pierwiastek równania:

\(\displaystyle{ 64 x^6-96 x^4+36 x^2-3}\). Można tutaj podstawić \(\displaystyle{ x^2 = t}\), a potem nawalać Cardano. Ale wg mnie łatwiej jednak byłoby skorzystać z tablic po prostu.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 27 gru 2013, o 08:11

Marcinek665, jak już wspominałem wzory Cardano nic nie dadzą
chyba że zadowolą cię pierwiastki zespolone
Mamy wzory na funkcje trygonometryczne sumy i na funkcje trygonometryczne kąta połówkowego
Z sumy nieskończonego ciągu geometrycznego mamy że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }{ \frac{1}{4^{n}} } = \frac{1}{3}}\)
Z każdą iteracją będziemy przybliżac się do wyniku

Można też rozwinąc sinusa w szereg
(pochodne sinusa oraz cosinusa powtarzają się cyklicznie więc dośc łatwo będzie ten szereg znaleźc)