Sinus 20stopni
-
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 10 wrz 2010, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: walbrzych
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
Sinus 20stopni
Witam,
jak można obliczyć \(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{9}}\)? bo głowię się nad tym i nie doszedłem do niczego
jak można obliczyć \(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{9}}\)? bo głowię się nad tym i nie doszedłem do niczego
Ostatnio zmieniony 27 gru 2013, o 20:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Sinus 20stopni
Wykorzystaj znaną wartość \(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{3}}\), wzór na sinus potrojonego kąta (możesz go samodzielnie wyprowadzić) oraz jedynkę trygonometryczną.
-
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 10 wrz 2010, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: walbrzych
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
Sinus 20stopni
niestety, wciąż nie wiem jak to zrobić.. nie umiem wyprowadzić wzoru na sinus potrojonego kąta, próbowałem z wzorami redukcyjnymi - ale wtedy dostaję \(\displaystyle{ \cos 70^\circ}\) i nijak mi to nie wychodzi. czy nie mógłby ktoś tego rozpisać?
Ostatnio zmieniony 27 gru 2013, o 20:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Sinus 20stopni
Jakby to szło w oczywisty sposób to mielibyśmy dokładny wynik w dostępnych tablicach - skoro tego nie mamy to nie idzie klasycznie (może jakieś wzory Cardano, czy cóś podobnego).
Podobne :
198343.htm
Podobne :
198343.htm
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 7 maja 2009, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 64 razy
Sinus 20stopni
wzór na sinus potrojonego kąta:
\(\displaystyle{ \sin 3 \alpha = \sin \alpha (3-4\sin ^{2} \alpha)}\)
Ale nie wiem czy to CI coś pomoże ;p
\(\displaystyle{ \sin 3 \alpha = \sin \alpha (3-4\sin ^{2} \alpha)}\)
Ale nie wiem czy to CI coś pomoże ;p
Ostatnio zmieniony 27 gru 2013, o 20:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Sinus 20stopni
Mamy
\(\displaystyle{ \sin 3x=\sin(2x+x)=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x=\\=2\sin x\cos^2x+\sin x\cos^2x-\sin^3x=3\sin x\cos^2x-\sin^3x,}\)
więc
\(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{3}=3\sin\frac{\pi}{9}\cos^2\frac{\pi}{9}-\sin^3\frac{\pi}{9}=3\sin\frac{\pi}{9}-4\sin^3\frac{\pi}{9}.}\)
Trzeba teraz rozwiązać otrzymane równanie wielomianowe trzeciego stopnia (jak zauważył piasek101 można się tu posłużyć wzorami Cardano).
\(\displaystyle{ \sin 3x=\sin(2x+x)=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x=\\=2\sin x\cos^2x+\sin x\cos^2x-\sin^3x=3\sin x\cos^2x-\sin^3x,}\)
więc
\(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{3}=3\sin\frac{\pi}{9}\cos^2\frac{\pi}{9}-\sin^3\frac{\pi}{9}=3\sin\frac{\pi}{9}-4\sin^3\frac{\pi}{9}.}\)
Trzeba teraz rozwiązać otrzymane równanie wielomianowe trzeciego stopnia (jak zauważył piasek101 można się tu posłużyć wzorami Cardano).
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Sinus 20stopni
Wzory Cardano nic tutaj nie dadzą ponieważ otrzymamy casus irreducibilis który jest wyrażony za pomocą funkcyj trygonometrycznych
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Sinus 20stopni
Wystarczy obliczyć pierwiastek równania:
\(\displaystyle{ 64 x^6-96 x^4+36 x^2-3}\). Można tutaj podstawić \(\displaystyle{ x^2 = t}\), a potem nawalać Cardano. Ale wg mnie łatwiej jednak byłoby skorzystać z tablic po prostu.
\(\displaystyle{ 64 x^6-96 x^4+36 x^2-3}\). Można tutaj podstawić \(\displaystyle{ x^2 = t}\), a potem nawalać Cardano. Ale wg mnie łatwiej jednak byłoby skorzystać z tablic po prostu.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Sinus 20stopni
Marcinek665, jak już wspominałem wzory Cardano nic nie dadzą
chyba że zadowolą cię pierwiastki zespolone
Mamy wzory na funkcje trygonometryczne sumy i na funkcje trygonometryczne kąta połówkowego
Z sumy nieskończonego ciągu geometrycznego mamy że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }{ \frac{1}{4^{n}} } = \frac{1}{3}}\)
Z każdą iteracją będziemy przybliżac się do wyniku
Można też rozwinąc sinusa w szereg
(pochodne sinusa oraz cosinusa powtarzają się cyklicznie więc dośc łatwo będzie ten szereg znaleźc)
chyba że zadowolą cię pierwiastki zespolone
Mamy wzory na funkcje trygonometryczne sumy i na funkcje trygonometryczne kąta połówkowego
Z sumy nieskończonego ciągu geometrycznego mamy że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }{ \frac{1}{4^{n}} } = \frac{1}{3}}\)
Z każdą iteracją będziemy przybliżac się do wyniku
Można też rozwinąc sinusa w szereg
(pochodne sinusa oraz cosinusa powtarzają się cyklicznie więc dośc łatwo będzie ten szereg znaleźc)