Rozwiąż równanie

[aniu_ta]

Spotkałam się dzisiaj z takim równaniem:

\(\displaystyle{ \sin ^{4}x+\cos ^{4} x= \frac{5}{8}}\)

Proszę powiedzieć, czy moje przekształcenia są prawidłowe, jeśli tak to jak mam skończyć, a jeśli nie, to gdzie popełniłam błąd:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \sin ^{4}x+\cos ^{4} x= \frac{5}{8}}\)

\(\displaystyle{ (\sin ^{2}x) ^{2} +(\cos ^{2} x) ^{2} = \frac{5}{8}}\)

\(\displaystyle{ (\sin ^{2}x) ^{2}+2\sin ^{2}x \cdot \cos ^{2} x +(\cos ^{2} x) ^{2} = \frac{5}{8}+2\sin ^{2}x \cdot \cos ^{2} x}\)

\(\displaystyle{ 1=\frac{5}{8}+2\sin ^{2}x \cdot \cos ^{2} x}\)

\(\displaystyle{ 2(\sin x \cdot \cos x) ^{2} = \frac{3}{8}}\)

\(\displaystyle{ (\sin x \cdot \cos x) ^{2}= \frac{3}{16}}\)

\(\displaystyle{ \sin x \cdot \cos x= \frac{ \sqrt{3} }{4}}\)

\(\displaystyle{ 2 \cdot \sin x \cdot \cos x=\frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin 2x =\frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

[Chromosom]

w przejsciu z 6 do 7 linijki jest blad. Nie mozesz pierwiastkowac stronami z uwzglednieniem tylko jednego rozwiazania

[aniu_ta]

Dziękuję, cenna wskazówka Już chyba wiem:

\(\displaystyle{ \sin x \cdot \cos x= \frac{ \sqrt{3} }{4} \wedge \sin x \cdot \cos x= -\frac{ \sqrt{3} }{4}}\)

\(\displaystyle{ \sin 2x =\frac{ \sqrt{3} }{2} \wedge \sin 2x =-\frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ 2x=60^{\circ} \wedge 2x=120^{\circ}}\)

\(\displaystyle{ x=30^{\circ} \wedge x=60^{\circ}}\)

Tak?

[Chromosom]

dobrze tylko jeszcze rozwiazan drugiego z rownan brakuje

[aniu_ta]

\(\displaystyle{ 2x=60^{\circ} \wedge 2x=120^{\circ} \wedge 2x=210^{\circ} \wedge 2x=330^{\circ}}\)

\(\displaystyle{ x=30^{\circ} \wedge x=60^{\circ} \wedge x=105^{\circ} \wedge x=165^{\circ}}\)

[Chromosom]

dwa pierwsze rozwiazania dobrze, ale \(\displaystyle{ \sin210^\circ\neq-\tfrac{\sqrt3}2}\), ostatnie rozwiazanie tez zie, zastosuj wzory redukcyjne i sprawdz ile to jest. POtem znajdz poprawne rozwiazania zawierajace sie w przedziale \(\displaystyle{ 0\le2x\le2\pi}\), jesli nie bylo ograniczonej dziedziny uwzglednij okresowosc funkcji

[aniu_ta]

Czyli powinnam chyba napisać

\(\displaystyle{ 2x= \frac{ \pi }{3} + \pi k \wedge 2x= \frac{2 \pi }{3}+ \pi k}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{1}{2} (\frac{ \pi }{3} + \pi k) \wedge x= \frac{1}{2} (\frac{2 \pi }{3}+ \pi k)}\)

Tak?

[Chromosom]

nie, \(\displaystyle{ 2x=\frac\pi3+2k\pi}\) podobnie w pozostalych i teraz mozesz \(\displaystyle{ x}\) wyznaczyc

[aniu_ta]

\(\displaystyle{ 2x=\frac\pi3+2k\pi \wedge 2x= \frac{2 \pi }{3} +2k \pi \wedge 2x= \frac{4 \pi }{3} +2k \pi \wedge 2x=\frac{5 \pi }{3} +2k \pi}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{6} +k\pi \wedge x= \frac{ \pi }{3} +k \pi \wedge x= \frac{2 \pi }{3} +k \pi \wedge x=\frac{5 \pi }{6} +k \pi}\)

[Chromosom]

tak

[aniu_ta]

Dziękuję bardzo