Koło z kątem i trygonometria.

jismena · Post autor: **jismena** » 27 kwie 2011, o 21:18

W kąt o mierze 60 stopni wpisano dwa okręgi, styczne do ramion kąta i styczne zewnętrznie do siebie. Wyznacz długość promienia większego okręgu, jeżeli promień mniejszego okręgu ma długość r.

I wychodzi 3r, ale skąd?
Jak mam mniejsze i większe koło to skąd mam wiedzieć na jakie części podzieli sie ten duży kat.?

Posługując się wzorem \(\displaystyle{ \cos 2 \alpha = 1 - 2\sin ^{2} \alpha}\)
oblicz \(\displaystyle{ \sin 15^\circ}\).

Tu nie wiem od czego zacząć.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 27 kwie 2011, o 21:44

jismena pisze:W kąt o mierze 60 stopni wpisano dwa okręgi, styczne do ramion kąta i styczne zewnętrznie do siebie. Wyznacz długość promienia większego okręgu, jeżeli promień mniejszego okręgu ma długość r.

I wychodzi 3r, ale skąd?
Jak mam mniejsze i większe koło to skąd mam wiedzieć na jakie części podzieli sie ten duży kat.?

Środki okręgów leżą na dwusiecznej kąta. Wystarczy dobry rysunek i definicja sinusa.

jismena pisze:Posługując się wzorem \(\displaystyle{ \cos 2 \alpha = 1 - 2\sin ^{2} \alpha}\)
oblicz \(\displaystyle{ \sin 15^\circ}\).

\(\displaystyle{ \cos 30^\circ=1-2\sin^2 15^\circ}\)

JK

jismena · Post autor: **jismena** » 27 kwie 2011, o 21:46

a skąd wziął się \(\displaystyle{ cos 30 ^{0}}\)-- 27 kwi 2011, o 21:49 --

Jan Kraszewski pisze:[
Środki okręgów leżą na dwusiecznej kąta. Wystarczy dobry rysunek i definicja sinusa.

JK

ale jak środki?
Środek każdego z tych okręgów leży na tej dwusiecznej?
Przecież one są stycznie zewnętrznie

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 27 kwie 2011, o 22:19

Tak każdego - bo każdy jest styczny do obu ramion.

Marmite · Post autor: **Marmite** » 27 kwie 2011, o 22:25

jismena pisze:a skąd wziął się \(\displaystyle{ cos 30 ^{o}}\)

Z tego czego wymaga zadanie. Każą Ci policzyć \(\displaystyle{ \sin15^{o}}\) i skorzystać z wzoru na \(\displaystyle{ \cos2\alpha}\). Widać, że ten wzór z prawej strony ma coś, czego szukamy - funkcję sinus. Jeśli \(\displaystyle{ \alpha = 15^{o}}\) no to nie ma zmiłuj, \(\displaystyle{ 2\alpha = 30^{o}}\), a tak się szczęśliwie składa, że wartość \(\displaystyle{ \cos30^{o}}\) jest nam dobrze znana.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 27 kwie 2011, o 23:02

piasek101 pisze:Tak każdego - bo każdy jest styczny do obu ramion.

A wygląda to mniej więcej tak:

JK

edit: Przepraszam za rozmiar. Coś mi się pomyliło w skalowaniu, a oryginału już nie mam...