równania trygonometryczne

[piotrek0493]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tych równań:
a) \(\displaystyle{ 2\cos^2x=\cos x+1}\)
b) \(\displaystyle{ \cos^3x+\cos x=0}\)
c) \(\displaystyle{ \sin 2x=\cos^2x}\)
d) \(\displaystyle{ 2\cos^2x-2\sin^2x+1=0}\)

[Lbubsazob]

a) Przenieś wszystko na 1 stronę, podstaw \(\displaystyle{ t=\cos x}\) i masz równanie kwadratowe.
b) Wyłącz \(\displaystyle{ \cos x}\) przed nawias.
c) Zamień \(\displaystyle{ \sin2x}\) na \(\displaystyle{ 2\sin x \cos x}\), przenieś na 1 stronę, wyłącz przed nawias \(\displaystyle{ \cos x}\).
d) Zamień np. \(\displaystyle{ \sin^2x}\) na \(\displaystyle{ 1-\cos^2 x}\) i zostanie tylko 1 niewiadoma.

[piotrek0493]

a) robiłem tak jak mówisz wcześniej ale wychodzi inaczej niż w odp :/
b) tu się machnąłem w znaku, ale już mam dobrze:)
c) to mi za nic nie chce wyjść
d) już zrobiłem innym sposobem

więc jak by ktoś mógł rozpisać pkt a i c to byłbym wdzięczny:)

[Lbubsazob]

a)
\(\displaystyle{ 2\cos^2x-\cos x-1=0 \\
t=\cos x \\
2t^2-t-1=0 \\
\Delta=9 \\
x_1= \frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2} \\
x_2= \frac{1+3}{4}=1 \\
\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi \vee x=-\frac{5}{6}\pi+2k\pi \\
\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\)
A jaka jest odpowiedź?

[piasek101]

c) pokaż co dostajesz - po wykorzystaniu podpowiedzi.

[piotrek0493]

a)
\(\displaystyle{ 2\cos^2x-\cos x-1=0 \\
t=\cos x \\
2t^2-t-1=0 \\
\Delta=9 \\
x_1= \frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2} \\
x_2= \frac{1+3}{4}=1 \\
\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi \vee x=-\frac{5}{6}\pi+2k\pi \\
\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\)
A jaka jest odpowiedź?

w odp. jest \(\displaystyle{ x=\frac{(2k \pi)}{3}}\)

[Afish]

Bo podstawiliście za kosinusa, a rozwiązaliście równanie z sinusem.

[Lbubsazob]

Fakt, że sama tu namieszałam, bo najpierw podstawiłam \(\displaystyle{ t=\cos x}\), a po wyliczeniu \(\displaystyle{ t}\) nie wiedzieć czemu przyrównałam to do \(\displaystyle{ \sin x}\), ale jak się to przyrówna do \(\displaystyle{ \cos x}\), to i tak nie wyjdzie taki wynik jak w odpowiedziach.

[Afish]

Wyjdzie, wyjdzie.
\(\displaystyle{ cosx = 1 \Rightarrow x = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\\
cosx = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{2}{3}\pi + 2l\pi, l\in \mathbb{Z} \vee x = -\frac{2}{3} \pi + 2p\pi, p\in \mathbb{Z}}\)
Jak się teraz to ładnie poskłada, to wychodzi to, co w odpowiedziach.

[Lbubsazob]

No faktycznie, czemu ja tego wczoraj nie widziałam...