Suma pierwiastków równania

[mikrobart]

Witajcie, mam takie oto zadanie:

Proszę podać liczbę będącą sumą wszystkich pierwiastków równania w przedziale \(\displaystyle{ (0; 4\pi )}\):
\(\displaystyle{ 3^{\sin x} + 9^{\sin x} + 27^{\sin x} + ... = \frac{ \sqrt{3}+1 }{2}}\)

Sprowadziłem to do postaci:
\(\displaystyle{ 3^{\sin x} + (3^{\sin x})^2 + (3^{\sin x})^3 + ... = \frac{ \sqrt{3}+1 }{2}}\)

Teraz wpadłem na pomysł zwinięcia lewej strony z ciągu geometrycznego nieskończonego o \(\displaystyle{ a_1= q = 3^{\sin x}}\), z tym, że musi zajść \(\displaystyle{ |q| < 1}\), więc przeszkadza mi \(\displaystyle{ x = \frac{ \pi }{2}}\) i \(\displaystyle{ x= \frac{5 \pi }{2}}\).

Przy zwijaniu i mnożeniu na krzyż, potem wyłączaniu przed nawias mam:
\(\displaystyle{ 3^{\sin x} ( \sqrt{3}+3) = \sqrt{3} +1}\).

Nie wiem, czy nie poszedłem w złą stronę z tym ciągiem geometrycznym - proszę o wskazówki.

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3}+1 }{2} \approx 1,37}\)
Stąd wynika, że nie może zachodzić, że sinus iks jest równy 1. \(\displaystyle{ \sin x < 1}\)

[mikrobart]

Czyli co powinienem zrobić?

[kamil13151]

\(\displaystyle{ S_n= \frac{3^{\sin x}}{1-3^{\sin x}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{3^{\sin x}}{1-3^{\sin x}} = \frac{ \sqrt{3}+1}{2}}\)
Po przekształceniach obliczamy pierwiastki, pamiętamy o przedziale i założeniu.

[mikrobart]

\(\displaystyle{ 3^ {\sin x} = \frac{ \sqrt{3}+1 }{ \sqrt{3}+3 }}\)

I co z tym cudem?

[kamil13151]

Usuń niewymierność z mianownika.

[mikrobart]

\(\displaystyle{ \sin x = - \frac{1}{2}}\)

Tak?

[kamil13151]

Zgadza się, a takie coś już umiemy rozwiązać.

[mikrobart]

Pewnie, że umiemy Dziękuję za pomoc.