równanie z cosinusem

tolaa · Post autor: **tolaa** » 26 kwie 2011, o 20:36

Nie wiedziałam do którego tematu mam to wrzucić, ale tutaj jest najbliżej, więc mam:
\(\displaystyle{ cos( \pi \cdot a)=1-2a}\)
Muszę wyznaczyć z tego równania 'a', co idzie mi narazie opornie.

maciejsporysz · Post autor: **maciejsporysz** » 26 kwie 2011, o 22:31

Po pierwsze założenia
\(\displaystyle{ a \in \left[ 0, 1 \right]}\)
Po drugie narysuj wykres funkcji kosinus i nałóż na to wykres funkcji liniowej. Zobaczysz, że rozwiązania to \(\displaystyle{ a=0}\), \(\displaystyle{ a=0,5}\) oraz \(\displaystyle{ a =1}\). Teraz pokaż, że nie ma innych. Do tego wystarczy np pochodna funkcji \(\displaystyle{ cos( \pi \cdot a)-1+2a}\) (a tak naprawdę ekstrema - wyjdą dwa).

tolaa · Post autor: **tolaa** » 27 kwie 2011, o 20:14

tak zrobiłam z tymi wykresami. Tylko skąd akurat taki przedział \(\displaystyle{ a \in \left[ 0, 1 \right]}\)? oczywiste, że wszystko się zgadza, tylko skąd go wziąć?

Post autor: **Afish** » 27 kwie 2011, o 20:22

Bo wartości z tego zbioru przyjmuje kosinus.

tolaa · Post autor: **tolaa** » 27 kwie 2011, o 21:01

No właśnie o to chodzi, że przyjmuje wartości \(\displaystyle{ \left[ -1, 1 \right]}\), dlatego też się zastanawiałam, jak nie sprawdzając na piechotę, przyjąć, że \(\displaystyle{ a \in \left[ 0, 1 \right]}\) jest poprawne

maciejsporysz · Post autor: **maciejsporysz** » 27 kwie 2011, o 21:09

\(\displaystyle{ -1 \le 1-2a \le 1}\)
Odejmij obustronnie jeden
\(\displaystyle{ -2 \le -2a \le 0}\)
Podziel przez minus dwa pamiętając o zmianie znaku nierówności
\(\displaystyle{ 0 \le a \le 1}\)

tolaa · Post autor: **tolaa** » 27 kwie 2011, o 21:26

ooo zapomniałam o istnieniu tak prostego zabiegu. Dziękuję za pomoc